2.7 TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η έννοια του τοπικού ακροτάτου Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα (α,β]. Παρατηρούμε ότι στο σημείο x = x0 η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε "γειτονικό" σημείο του x0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία x1 και x2. Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

ΣΧΟΛΙΑ

i) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο (Σχ.32α).

ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (Σχ. 32β). Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης (Σχ. 32α).

Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτων

Με μια προσεκτική παρατήρηση του σχήματος 32β βλέπουμε ότι αν σ' ένα εσωτερικό σημείο x₀ ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο Α(x₀, f(x₀)) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια, δηλαδή ισχύει f ʹ(x₀) = 0. Αυτό επιβεβαιώνεται από το παρακάτω θεώρημα, που είναι γνωστό ως Θεώρημα του Fermat.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό μέγιστο. Επειδή το x0 είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ' αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε
(x0 − δ , x0 + δ) ⊆ Δ   και
f(x) ≤ f(x0)    για κάθε   x ϵ (x0 − δ , x0 + δ) .     (1)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ , ισχύει

Επομένως,

— αν   x ϵ (x₀ − δ , x₀) τότε, λόγω της (1), θα είναι , οπότε θα έχουμε

— αν   x ϵ (x₀ , x₀ + δ) τότε, λόγω της (1), θα είναι , οπότε θα έχουμε

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε f ʹ(x₀) = 0.

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. ■

ΣΧΟΛΙΟ

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f ʹ είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Επομένως, όπως φαίνεται και στα σχήματα 29 και 30, οι  π ι θ α ν έ ς   θ έ σ ε ι ς   τ ων  τ ο π ι κ ώ ν  α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι :

1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση
Η f είναι συνεχής στο R και παραγωγίσιμη στο  R−{1}  με
Οι ρίζες της  f ʹ(x) = 0  είναι οι 0 και 2.

ii) Εργαζόμαστε αναλόγως.

iii) Έστω ότι

Επειδή η f είναι συνεχής στο x₀ θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (α, x₀] και [x₀, β). Επομένως, για  x₁ < x₀ < x₂  ισχύει   f(x₁) < f(x₀) < f(x₂). Άρα f(x₀) το δεν είναι τοπικό ακρότατο της f.

Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β).

Πράγματι, έστω  x₁ , x₂ ϵ (α,β) με x₁ < x₂.

— Αν  x₁ , x₂ ϵ (α, x₀],  επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, x₀], θα ισχύει  f(x₁) < f(x₂).

— Αν x₁ , x₂ ϵ [x₀, β),  επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [x₀, β), θα ισχύει  f(x₁) < f(x₂).

— Τέλος, αν x₁ < x₀ < x₂, τότε όπως είδαμε f(x₁) < f(x₀) < f(x₂).

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f(x₁) < f(x₂), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β).

Ομοίως, αν f ʹ(x) < 0 για κάθε x ϵ (α, x₀) ∪ (x₀, β). ■

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = x⁴ − 4x³ που είναι ορισμένη στο R. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f ʹ(x) = 4x³ − 12x². Οι ρίζες της f ʹ(x) = 0 είναι x = 0 (διπλή) ή x = 3, το δε πρόσημο της f ʹ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα :

Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (−∞,3], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [3,+∞) και παρουσιάζει ένα μόνο τοπικό ακρότατο, συγκεκριμένα ολικό ελάχιστο για x = 3 , το f(3) = −27.

ΣΧΟΛΙΑ

● ΄Οπως είδαμε στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος στην πρώτη περίπτωση το f(x₀) είναι η μέγιστη τιμή της f στο (α,β), ενώ στη δεύτερη περίπτωση το f(x₀) είναι η ελάχιστη τιμή της f στο (α,β).

● Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα κλειστό διάστημα [α,β], όπως γνωρίζουμε (Θεώρημα § 1.8), η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f.

2. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.

3. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = 2x³ − 15x² + 24x + 19,  x ϵ [0,5].
Έχουμε f ʹ(x) = 6x² − 30x + 24,  x ϵ [0,5]. Οι ρίζες της f ʹ(x) = 0 είναι οι x = 1, x = 4. Επομένως, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα x = 1, x = 4. Οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [0,5] είναι

Άρα, η μέγιστη τιμή της f στο [0,5] είναι ίση με 30 και παρουσιάζεται για x = 1, ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 3 και παρουσιάζεται για x = 4.

● Για να εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα απαιτείται να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f ʹ εκατέρωθεν του x₀. Όταν ο προσδιορισμός αυτός δεν είναι εύκολος ή είναι αδύνατος, τότε το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μπορεί να μας πληροφορήσει αν το x₀ είναι θέση τοπικού ακρότατου.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα βρεθεί το x ϵ [0,√3] έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να έχει μέγιστο εμβαδό. ΛΥΣΗ
Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι
E(x) = (ΑΒ)(ΑΔ) = 2x(3 − x2 ) = − 2x3 + 6x .
Έχουμε  Eʹ(x) = − 6x2 + 6 = − 6 (x + 1) (x − 1). Οι ρίζες της  Eʹ(x) = 0 είναι οι x = −1, x = 1. Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα
Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν x = 1.

2. Έστω η συνάρτηση f(x) = x − 1 − lnx. i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδειχτεί ότι lnx ≤ x − 1, για κάθε x > 0. ΛΥΣΗ
i) Έχουμε   ,  x ϵ (0, +∞). Η εξίσωση f ʹ(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα, την x = 1. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:
ii) Επειδή η f για x = 1 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε x ϵ (0, +∞) ισχύει:
Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 1.

3. Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π(x) κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους x των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο Π(x) = 40000 − 6x. Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι 4000 δρχ. Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο 1200 δρχ. για κάθε μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος.

ΛΥΣΗ

Η είσπραξη από την πώληση x μονάδων παραγωγής είναι

Το κόστος από την παραγωγή x μονάδων είναι

Το ολικό κόστος μετά την πληρωμή του φόρου είναι :

Επομένως, το κέρδος της βιομηχανίας είναι

Έχουμε Pʹ(x) = −12x + 34800, οπότε η Pʹ(x) = 0 έχει ρίζα την x = 2900. Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ στο (0, +∞) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Επομένως, το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 2900 μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 50460 χιλιάδες δρχ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. H παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι

Για ποιές τιμές του x η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο;

2. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:

β) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων:

3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:

4. Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις :

5. Nα βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx³ + βx² − 3x + 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x₁ = − 1  και  x₂ = 1. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων.

6. Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήματος ορθογωνίου με εμβαδό 400m², το τετράγωνο χρειάζεται τη μικρότερη περίφραξη.

7. Με συρματόπλεγμα μήκους 80m θέλουμε να περιφράξουμε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

8. Μία ώρα μετά τη λήψη x mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση ,   0 < x < 3. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς x, να γίνει μέγιστος.

9. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά 2cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ, i) να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του x. ii) να βρείτε το x έτσι, ώστε το εμβαδόν E(x) του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο.

10. Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι χιλιάδες δραχμές, 0 ≤ x ≤ 105. Η είσπραξη από την πώληση των x μονάδων είναι E(x) = 420x − 2x² χιλιάδες δραχμές. Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο.

1. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ημx − x + 3,    x ϵ [0,π]

i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα.

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση    έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0, π).

2.. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση

και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.

ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση

iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.

3. Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει

4. Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει

τότε η f δεν έχει ακρότατα.

5. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g σ' ένα διάστημα [α,β]. Το σημείο ξ ϵ (α,β) είναι το σημείο στο οποίο η καρακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των Cf  και  Cg παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των Cf  και  Cg στα σημεία Α(ξ, f(ξ)) και Β(ξ, g(ξ)) είναι παράλληλες.

6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.

7. Με ένα σύρμα μήκους 4m κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς x m και ένα τετράγωνο πλευράς y m.

i) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσει της πλευράς x του ισοπλεύρου τριγώνου.

ii) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.

8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x και το σημείο A(9/2,0) .

i) Να βρείτε το σημείο Μ της C_f που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση.

ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C_f στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ.

9. Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια. Αν η περίμετρος του στίβου είναι 400m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου μέρους να γίνει μέγιστο.

10. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον 100 ατόμων. Αν δηλώνουν ακριβώς 100 άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε 100 χιλιάδες δραχμές το άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 500 δρχ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε να έχουμε τα περισσότερα έσοδα.

11. Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος. Υποθέτουμε οτι τη χρονική στιγμή t =0 είναι r1 = 3cm και r2 = 5cm και ότι για t > 0 η ακτίνα r1 αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,05cm/s, ενώ η ακτίνα r2 αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,04 cm/s. Να βρείτε: i) πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου.

12. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ φαίνεται στο διπλανό σχήμα. i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής ΑΒΓΔ είναι ίσο με E = 4ημθ(1 + συνθ) ii) Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται;

13. Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα 100ft   (1) μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α μιας ευθύγραμμης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται 300ft μακρυά από το σημείο Α. Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμβήσει με ταχύτητα 3ft/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα 5ft/s.
i) Να αποδείξετε οτι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανού σχήματος χρειάζεται χρόνο
ii) Για ποια τιμή του x o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του;

14. Ένας εργολάβος επιθυμεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόμο που συνδέει δύο εργοστάσια E1 και E2 τα οποία βρίσκονται σε απόσταση 12km και εκπέμπουν καπνό με παροχές Ρ και 8P αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε μια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση x από το εργοστάσιο E1 πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση. (Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στη μονάδα του χρόνου).

⁽¹⁾ 1ft = 30,48 cm