2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού θεωρείται μία από τις σπουδαιότερες προτάσεις της ανάλυσης, αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το Θ.Μ.Τ. για να αποδείξουμε τα επόμενα δύο βασικά θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε   x₁  x₂ ϵ Δ   ισχύει   f(x₁) = f(x₂) .

Πράγματι

● Αν   x₁ = x₂ , τότε προφανώς  f(x₁) = f(x₂).

● Αν  x₁ < x₂, τότε στο διάστημα [x₁,x₂] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει  ξ ϵ (x₁,x₂)  τέτοιο, ώστε

(1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ʹ(ξ) = 0, οπότε, λόγω της (1), είναι  f(x₁) = f(x₂). Αν  x₂ < x₁, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι  f(x₁) = f(x₂).

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι  f(x₁) = f(x₂). ■

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η συνάρτηση f − g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο  x ϵ Δ  ισχύει
(f − g)ʹ(x) = f ʹ(x) − gʹ(x) = 0.
Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f − g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε  x ϵ Δ  να ισχύει  f(x) − g(x) = c, οπότε f(x) = g(x) + c. ■

ΣΧΟΛΙΟ

Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

Παρατηρούμε ότι, αν  f ʹ(x) = 0 και για κάθε  x ϵ (−∞,0) ∪ (0,+∞), εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο (−∞,0) ∪ (0,+∞).

ΕΦΑΡΜΟΓH

Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει για κάθε

i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση είναι σταθερή και

ii) Να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι  f(0) = 1.

ΛΥΣΗ

i) Για κάθε  x ϵ R  έχουμε :

Επομένως, η φ είναι σταθερή στο R .

ii) Επειδή η φ είναι σταθερή, υπάρχει  c ϵ R  τέτοιο, ώστε  φ(x)= c  για κάθε x ϵ R  ή, ισοδύναμα, για κάθε  x ϵ R. Επομένως

Επειδή  f(0) = 1, έχουμε 1 = c , οπότε

Μονοτονία συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση f(x) = x2. Παρατηρούμε ότι στο διάστημα (−∞,0), στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα, ισχύει f ʹ(x) = 2x < 0, ενώ στο διάστημα (0,+∞), στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f ʹ(x) = 2x > 0. Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης. Συγκεκριμένα ισχύει:

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f ʹ(x) > 0.

Έστω  x₁  x₂ ϵ Δ  με x₁ < x₂. Θα δείξουμε ότι  f(x₁) < f(x₂). Πράγματι, στο διάστημα [x₁,x₂] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ ϵ (x₁,x₂) τέτοιο, ώστε , οπότε έχουμε

Επειδή  f ʹ(ξ) > 0  και  x₂ − x₁ > 0, έχουμε f(x₂) − f(x₁) > 0, οπότε f(x₁) < f(x₂).

● Στην περίπτωση που είναι  f ʹ(x) < 0  εργαζόμαστε αναλόγως. ■

Για παράδειγμα : — η συνάρτηση f(x) = √x, είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞), αφού είναι συνεχής στο [0,+∞) και ισχύει > 0 για κάθε x ϵ (0,+∞).

— η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+∞), αφού είναι συνεχής στο [1,+∞) και  f ʹ(x) = 2(x − 1) > 0 για κάθε x ϵ (1,+∞), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο (−∞,1], αφού είναι συνεχής στο (−∞,1] και f ʹ(x) = 2(x − 1) < 0 για κάθε x ϵ (−∞,1).

— η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (−∞,0), και (0,+∞), αφού για κάθε x ϵ (−∞,0) και για κάθε x ϵ (0,+∞).

ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x3 , αν και είναι γνησίως αύξουσα στο R, εντούτοις έχει παράγωγο f(x) = 3x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f ʹ(0) = 0. Ισχύει όμως f ʹ(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ R.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f(x) = 2x³ − 3x² + 1 είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα.

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν :

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ(x) = [f(x)] ² + [g(x)] ² είναι σταθερή.

2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων :

3. Oμοίως των συναρτήσεων :

4. Oμοίως των συναρτήσεων :

5. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x⁵ + 5x − 6  και  g(x) = 2√x + x − 3

i) Να αποδείξετε ότι oι f, g είναι γνησίως αύξουσες.

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους.

iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις :

έχουν ακριβώς μία ρίζα την x = 1.

6. Να αποδείξετε ότι :

i) H συνάρτηση  f(x) = e ^x − 1 + ln(x + 1)  είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Η εξίσωση  e ^x = 1 − ln(x + 1)  έχει ακριβώς μία λύση την x = 0.

1. Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ' όλο το R ισχύει

να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

2. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση  f(x) = x ³ − 3x + α  είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [−1,1].

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [−1,1].

iii) Αν  −2 < α < 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση  x ³ − 3x + α  έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (−1,1).

3. Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση :

Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχεια να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα :

i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν;

ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά ;

iii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη ;

4. Η τιμή V (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο

Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμή του να μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του.

5.Να αποδείξετε ότι :

i) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο των τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.

ii) H εξίσωση  x ³ − αx ² − 9x + α = 0  είναι ισοδύναμη με την f(x) = α  και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α ϵ R.

6. Να βρείτε τις τιμές του  α ϵ R^*  για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx³ + 3x² + x + 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.

7. Να αποδείξετε οτι :

i) H συνάρτηση  f(x) = ημx − xσυνx  είναι γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα [0, π/2].

ii) ημx − xσυνx > 0, για κάθε x ϵ [0, π/2].

iii) H συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστημα (0, π/2).


8. Να αποδείξετε ότι:

i) H συνάρτηση  f(x) = 2ημx + εφx − 3x,  x ϵ [0, π/2]  είναι γνησίως αύξουσα.

ii) 2ημx + εφx ≥ 3x, για κάθε  x ϵ [0, π/2].