B2.4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

2.4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού, ορίσαμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t₀ ως το όριο

Το όριο αυτό το λέμε και ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t₀ . Γενικά,

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x , y συνδέονται με τη σχέση y = f(x) , όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x₀, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x₀ την παράγωγο f ʹ(x₀) .

Για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t₀ είναι η παράγωγος υʹ(t₀) , της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t₀ . Η παράγωγος υʹ(t₀) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t₀ και συμβολίζεται με α(t₀). Είναι δηλαδή

α(t₀) = υʹ(t₀) = Sʹʹ(t₀)

Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος Κʹ(x₀) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα x, όταν x = x₀ και λέγεται οριακό κόστος στο x₀. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο x₀ και οριακό κέρδος στο x₀.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό. Μία συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t₀ που η ακτίνα r του κυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι 20 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή t₀.

ΛΥΣΗ

Επειδή Ε = π r² και η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε

Ε(t) = π r²(t).

οπότε

Εʹ(t) = 2π r(t) rʹ(t).

Επομένως, (cm²/sec).

2. Aν το συνολικό κόστος παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι Κ(x) και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι E(x), τότε P(x) = E(x) − K(x) είναι το συνολικό κέρδος και είναι το μέσο κόστος.
i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι.

ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος.

ΛΥΣΗ

i) Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι

Pʹ(x) = Eʹ(x) − Kʹ(x) .

Επομένως,

Pʹ(x) = 0 ⇔ Eʹ(x) − Kʹ(x) = 0 ⇔ Eʹ(x) = Kʹ(x).

ii) Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι

Επομένως

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λυώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 − t², όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t = 1sec. (Θυμηθείτε ότι Ε = 4π r² και ).

2. Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό 100cm³/sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή t₀, που αυτή είναι ίση με 9cm;

3. To κόστος παραγωγής, Κ(x), και η τιμή πώλησης, Π(x), x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις και Π(x) = 420x αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, P(x) = Π(x) − K(x), είναι θετικός.

4. Δύο πλοία Π₁ και Π₂ αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ. Το πλοίο Π₁ κινείται ανατολικά με ταχύτητα 15km/h και το Π₂ βόρεια με ταχύτητα 20km/h.

i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Π₁ και Π₂

ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = (Π₁Π₂) των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε.

5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι xʹ( t) > 0 για κάθε t ≥ 0.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10cm²/sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r = 85cm.

2. Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία O(0,0), A(x, 0) και B(0, lnx) με x >1. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν x = 5cm.

3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα 3m/s. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y.

4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 50m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος 100m

5. Mία γυναίκα ύψους 1,60m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8m με ταχύτητα 0,8m/s. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της;

6. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης , πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο

αʹ(t) = − α(t)

να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη − 3.

7. Μία σκάλα μήκους 3m είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό 0,1m/sec. Τη χρονική στιγμή t₀ , που η κορυφή της σκάλας απέχέι από το δάπεδο 2,5m, να βρείτε:

i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ (Σχήμα).

ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.

8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση x² + y² = 1. Καθώς περνάει από το σημείο Εικόνα , η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.