2.10 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που αποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με ικανοποιητική ακρίβεια. Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεται μελέτη της συνάρτησης και περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα :

1ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.

2o Eξετάζουμε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της.

3ο Βρίσκουμε τις παραγώγους  f ʹ  και  f ʹʹ και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της  f ʹ προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f, ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της  f ʹʹ καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.

4ο Μελετούμε τη "συμπεριφορά" της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.)

5ο Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ' ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται και πίνακας μεταβολών της f και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της f. Για καλύτερη σχεδίαση της C_f  κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της f.

ΣΧΟΛΙΟ

1) Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το  Α  είναι  ά ρ τ ι α, τότε η  C_f  έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yʹy, ενώ αν είναι  π ε ρ ι τ τ ή, η  C_f   έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα  x ϵ A, με  x ≥ 0.

2) Αν μια συνάρτηση f είναι  π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της  C_f  σ' ένα διάστημα πλάτους Τ.

ΕΦΑΡΜΟΓEΣ

1. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση

ΛΥΣΗ

1. H f έχει πεδίο ορισμού το R.

2. Η f είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική.

3. Έχουμε
f ʹ(x) = 4x 3 − 12x2 = 4x2 (x − 3)
Οι ρίζες της  f ʹ είναι οι x = 3, x = 0 (διπλή) και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα.
Έχουμε επίσης
f ʹʹ(x) = 12x2 − 24x = 12x (x − 2)
Οι ρίζες της f ʹʹ είναι οι x = 0, x = 2 και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.

4) Η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτες στο  +∞  και  −∞ , αφού είναι πολυωνυμική τέταρτου βαθμού. Είναι όμως :

και

5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της f.

2. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση

ΛΥΣΗ

1. H f έχει πεδίο ορισμού το R−{1} .

2. Η f είναι συνεχής ως ρητή.

3. Έχουμε
Οι ρίζες της f ʹ είναι −1, 3 και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα.
Έχουμε επίσης
Η f ʹʹ δεν έχει ρίζες και το πρόσημό της δίνεται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.

4) Επειδή , η ευθεία x = 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της  C_f .

Εξετάζουμε τώρα αν υπάρχει στο +∞ ασύμπτωτη της μορφής  y = λx + β. Έχουμε :

Επομένως, η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της  C_f  στο +∞.

Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της  C_f  και στο −∞.

Επίσης έχουμε:

5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις :

2. Oμοίως τις συναρτήσεις :

3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = x + ημx στο διάστημα [−π, π].