Μαθηματικά (Γ΄ Λυκείου Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (α, +∞).

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

— το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό ℓ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο +∞ όριο το ℓ και γράφουμε

Εικόνα

— το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο +∞ όριο το +∞ και γράφουμε

Εικόνα

— το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο +∞ όριο το −∞ και γράφουμε

Εικόνα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο +∞, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,+∞).
Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν x → −∞ για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (−∞, β). ΄Ετσι, για τις συναρτήσεις f, g, h των παρακάτω σχημάτων έχουμε:

Εικόνα

Για τον υπολογισμό του ορίου στο +∞ ή −∞ ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:

Εικόνα

Για παράδειγμα,

  Εικόνα

Για τα όρια στο +∞, −∞ ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο x0 με την προϋπόθεση ότι:

— οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και

— δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

 

Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης

● Έστω η συνάρτηση f(x) = 2x3 − 5x2 + 2x − 1. Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για τον υπολογισμό του Εικόνα, καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:

Για x ≠ 0 έχουμε

Εικόνα

Επειδή

Εικόνα

έχουμε

Εικόνα

Γενικά

Για την πολυωνυμική συνάρτηση Εικόνα , με αν ≠ 0 ισχύει :
 
Εικόνα

Για παράδειγμα,

● Έστω τώρα η συνάρτηση Εικόνα.

Για x ≠ 0 έχουμε :

Εικόνα

Επειδή

Εικόνα

και

Εικόνα

έχουμε

Εικόνα

Γενικά,

Για την ρητή συνάρτηση Εικόνα ,    αν ≠ 0,    βκ ≠ 0   ισχύει :
 
Εικόνα

Για παράδειγμα,

Εικόνα


Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης

Αποδεικνύεται (1) ότι :

Αν α >1 (Σχ. 60), τότε

Εικόνα
    Εικόνα
 

Αν 0 < α <1 (Σχ. 61), τότε

Εικόνα
    Εικόνα
 

(1)  Η απόδειξη παραλείπεται.

Πεπερασμένο όριο ακολουθίας

Η έννοια της ακολουθίας είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Συγκεκριμένα :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση   α : N*R .

Η εικόνα της ακολουθίας α(ν) συμβολίζεται συνήθως με αν , ενώ η ακολουθία α συμβολίζεται με (αν).
Για παράδειγμα, η συνάρτηση Εικόνα,  ν ϵ N*  είναι μια ακολουθία.
Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το N* = {1, 2, 3, 4,.......} έχει νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή όταν ν → +∞.

Ο ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτησης στο +∞ και διατυπώνεται ως εξής :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Θα λέμε ότι η ακολουθία ν) έχει όριο το ℓ ϵ R και θα γράφουμε Εικόνα,  όταν για κάθε ε >0 ,
υπάρχει ν0 ϵ N*, τέτοιο ώστε για κάθε   ν > ν0  να ισχύει

| αν − ℓ | < ε

Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν x → +∞, που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών μπορούμε να υπολογίζουμε όρια ακολουθιών.

Για παράδειγμα,

Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Nα βρείτε τα όρια :

Εικόνα

2. Nα βρείτε τα όρια :

Εικόνα

3. Nα βρείτε τα όρια :

Εικόνα

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

Εικόνα

2. Nα προσδιορίσετε το λ ϵ R, ώστε το  Εικόνα  να υπάρχει στο R.

3. Αν Εικόνα, να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες ισχύει  Εικόνα .

4. Nα βρείτε τα όρια :

Εικόνα