1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (α, +∞).

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

— το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό ℓ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο +∞ όριο το ℓ και γράφουμε

— το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο +∞ όριο το +∞ και γράφουμε

— το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο +∞ όριο το −∞ και γράφουμε

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο +∞, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,+∞).
Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν x → −∞ για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (−∞, β). ΄Ετσι, για τις συναρτήσεις f, g, h των παρακάτω σχημάτων έχουμε:

Για τον υπολογισμό του ορίου στο +∞ ή −∞ ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:

Για παράδειγμα,

Γενικά,

Για την ρητή συνάρτηση ,    αν ≠ 0,    βκ ≠ 0   ισχύει :

Για παράδειγμα,

Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης

Αποδεικνύεται ⁽¹⁾ ότι :

● Αν α >1 (Σχ. 60), τότε

● Αν 0 < α <1 (Σχ. 61), τότε

⁽¹⁾  Η απόδειξη παραλείπεται.

Πεπερασμένο όριο ακολουθίας

Η έννοια της ακολουθίας είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Συγκεκριμένα :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Η εικόνα της ακολουθίας α(ν) συμβολίζεται συνήθως με α_ν , ενώ η ακολουθία α συμβολίζεται με (α_ν).
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ,  ν ϵ N^*  είναι μια ακολουθία.
Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το N^* = {1, 2, 3, 4,.......} έχει νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή όταν ν → +∞.

Ο ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτησης στο +∞ και διατυπώνεται ως εξής :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Θα λέμε ότι η ακολουθία (αν) έχει όριο το ℓ ϵ R και θα γράφουμε ,  όταν για κάθε ε >0 ,

υπάρχει ν0 ϵ N*, τέτοιο ώστε για κάθε   ν > ν0  να ισχύει

| αν − ℓ | < ε

Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν x → +∞, που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών μπορούμε να υπολογίζουμε όρια ακολουθιών.

Για παράδειγμα,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε τα όρια :

2. Nα βρείτε τα όρια :

3. Nα βρείτε τα όρια :

1. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

2. Nα προσδιορίσετε το λ ϵ R, ώστε το    να υπάρχει στο R.

3. Αν , να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες ισχύει   .

4. Nα βρείτε τα όρια :