Μαθηματικά (Γ΄ Λυκείου Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή

1.4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ  x0 ϵ R

Εισαγωγή

Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως:

— Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού;

— Tι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της;

— Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου;

Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου "διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βάσικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης.

Η έννοια του ορίου

Έστω η συνάρτηση    
Εικόνα
Εικόνα
Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = R−{1} και γράφεται
Εικόνα

Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y =x + 1 με εξαίρεση το σημείο A(1,2) (Σχ. 38). Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι:

"Καθώς το x, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα  xʹx, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 1, το  f(x), κινούμενο πάνω στον άξονα  yʹy, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 2. Και μάλιστα, οι τιμές  f(x) είναι τόσο κοντά στο 2 όσο θέλουμε, για όλα τα x ≠ 1 που είναι αρκούντως κοντά στο 1".

Στην περίπτωση αυτή γράφουμε

Εικόνα

και διαβάζουμε

"το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο 1, είναι 2".

Γενικά:

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό ℓ, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x0, τότε γράφουμε

Εικόνα

και διαβάζουμε

"το όριο της  f(x), όταν το x τείνει στο x0 , είναι ℓ "  ή
"το όριο της  f(x) στο x0 είναι ℓ ".


Εικόνα

ΣΧΟΛΙΟ

Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι:

— Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο x0, πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο x0", δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο της μορφής

(α, x0) ∪ (x0, β)    ή    (α, x0)    ή    (x0, β).

— Το x0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. 39α, 39β) ή να μην ανήκει σ' αυτό (Σχ. 39γ).

— Η τιμή της f στο x0, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο x0 (Σχ. 39α) ή διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β).

● Έστω, τώρα, η συνάρτηση   Εικόνα
Εικόνα
της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος.

Παρατηρούμε ότι:

— Όταν το x προσεγγίζει το 1 από αριστερά (x<1), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 2. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:

Εικόνα

— ΄Οταν το x προσεγγίζει το 1 από δεξιά (x>1), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θελουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:

Εικόνα

Γενικά:

— ΄Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό ℓ1, καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μικρότερες τιμές (x < x0), τότε γράφουμε:

Εικόνα

και διαβάζουμε:

   "το όριο της  f(x), όταν το x τείνει στο x0 από τα αριστερά, είναι ℓ1".

— ΄Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό ℓ2, καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μεγαλύτερες τιμές (x > x0), τότε γράφουμε:

Εικόνα

και διαβάζουμε:

   "το όριο της  f(x), όταν το x τείνει στο x0 από τα δεξιά, είναι ℓ2".

Εικόνα

Τους αριθμούς Εικόνα και Εικόνα τους λέμε πλευρικά όρια της f στο x0 και συγκεκριμένα το ℓ1 αριστερό όριο της f στο x0, ενώ το ℓ2  δεξιό όριο της f στο x0.

Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι:

Εικόνα

 

Για παράδειγμα, η συνάρτηση Εικόνα (Σχ. 42) δεν έχει όριο στο x0 = 0, αφού   Εικόνα
Εικόνα
ενώ
Εικόνα
και έτσι
Εικόνα

Ορισμός του ορίου στο x0 ∈ R

● Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι, όταν γράφουμε Εικόνα, εννοούμε ότι οι τιμές f(x) βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο ℓ, για όλα τα x ≠ x0 τα οποία βρίσκονται "αρκούντως κοντά στο x0". Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής:

— Στη θέση της φράσης  "οι τιμές  f(x)  βρίσκονται οσοδήποτε θέλουμε κοντά στο ℓ"  χρησιμοποιούμε την ανισότητα

  Εικόνα
|f(x) −ℓ| < ε ,

(1)
όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.

— Στη θέση της φράσης  "για όλα τα x ≠ x0 που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο x0"  χρησιμοποιούμε την ανισότητα

0 < |x − x0| < δ ,
(2)

όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. (Η ανισότητα 0 <|x − x0| δηλώνει ότι x≠x0).

— Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το f(x) θα ικανοποιεί την (1). Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ *

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β).

Θα λέμε ότι η f έχει στο x0 όριο ℓ ϵ R, όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε

x ϵ (α, x0)∪(x0, β),  με 0 < |x − x0| < δ , να ισχύει:

|f(x) −ℓ| < ε

Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με Εικόνα .
Στη συνέχεια, όταν γράφουμεΕικόνα, θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της f στο x0 και είναι ίσο με ℓ.
Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:

Εικόνα

● Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x0,β) και την ανισότητα 0 <|x − x0|< δ την αντικαταστήσουμε με την x0 < x < x0 + δ, τότε έχουμε τον ορισμό του Εικόνα, ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, x0) και την ανισότητα 0 < |x − x0|< δ την αντικαταστήσουμε με την x0 − δ < x < x0, τότε έχουμε τον ορισμό του Εικόνα.

Αποδεικνύεται ότι :

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β), τότε ισχύει η ισοδυναμία:
Εικόνα

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x0,β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, x0), τότε ορίζουμε: Εικόνα
Εικόνα
Για παράδειγμα,
Εικόνα

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, x0), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (x0,β), τότε ορίζουμε:
Εικόνα
 
Για παράδειγμα, Εικόνα
Εικόνα
 

ΣΧΟΛΙΟ

Αποδεικνύεται ότι το Εικόνα είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, x0) και (x0,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f.

Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης Εικόναστο x0 = 0, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (−1, 0)∪(0, 1) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη

μορφή

Εικόνα .
  Εικόνα
Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το

ζητούμενο όριο είναι  Εικόνα .

ΣΥΜΒΑΣΗ

Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο x0 μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:

α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ.

β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (x0, β).

γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (x0, β), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, x0).

Για παράδειγμα, η συνάρτηση Εικόνα είναι θετική κοντά στο x0 = 0, αφού ορίζεται στο σύνολο
(−π/2, 0)∪(0, π/2) και είναι θετική σε αυτό.


Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι :

Εικόνα

Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x (Σχ. 47α) στο x0 είναι ίσο με την τιμή της στο x0, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης g(x) = c (Σχ. 47β) στο x0 είναι ίσο με c.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Nα βρείτε το Εικόνα και το f(x0), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι :

Εικόνα

2. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το Εικόνα, όταν:

Εικόνα

3. Ομοίως όταν :

Εικόνα

4. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [−2, +∞) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς.

Εικόνα

5. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο (α, x0)∪(x0, β), με Εικόνα και Εικόνα. Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες υπάρχει το Εικόνα.