Η κυματοσυνάρτηση είναι μία συνάρτηση της θέσης και του χρόνου Ψ = Ψ(x,y.z,t).

Στα μηχανικά κύματα η εξίσωση κύματος μάς δίνει για κάθε χρονική στιγμή τη θέση κάθε σημείου του υλικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα. Στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα οι εξισώσεις κύματος που τα περιγράφουν μας δίνουν για κάθε χρονική στιγμή την τιμή της έντασης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου στον οποίο διαδίδεται το κύμα. Η κυματοσυνάρτηση Ψ όμως που περιγράφει ένα σωματίδιο-κύμα δεν σχετίζεται με κάποιο μέσον διάδοσης ούτε με κάποιες ιδιότητες του χώρου. Είναι δύσκολο να της αποδώσουμε κάποια φυσική σημασία. Μπορούμε μόνο να περιγράψουμε πώς σχετίζεται με τα φυσικά παρατηρούμενα φαινόμενα.

Για κάποιο συγκεκριμένο σημείο, ορισμένη χρονική στιγμή η κυματοσυνάρτηση θα έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Ο Max Born πρότεινε να ερμηνεύσουμε το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης σαν την πιθανότητα θέσης ανά μονάδα όγκου. Δηλαδή, αν ορίσουμε έναν στοιχειώδη όγκο dV γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο (x,y,z) το γινόμενο |Ψ|²dV δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο μέσα στον όγκο dV στη δεδομένη χρονική στιγμή.

Αν χωρίσουμε το σύνολο του χώρου σε στοιχειώδεις όγκους dV και σε κάθε σημείο του χώρου βρούμε την τιμή της Ψ για κάποια χρονική στιγμή το άθροισμα των |Ψ|²dV πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα.

∑ |Ψ|²dV = 1

Δηλαδή η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο κάπου στο χώρο είναι ίση με τη μονάδα. Με απλά λόγια κάθε χρονική στιγμή το σωματίδιο σίγουρα βρίσκεται κάπου. Η παραπάνω σχέση προκύπτει από την διάσταση που έδωσε ο Born στο |Ψ|² και ονομάζεται συνθήκη κανονικοποιήσεως. Εάν η κυματοσυνάρτηση είναι σωστή πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη κανονικοποιήσεως.

Πώς βρίσκουμε όμως μία κυματοσυνάρτηση;

Την απάντηση έδωσε ο Erwin Schrödinger διατυπώνοντας την περιφημη εξίσωσή του της οποίας λύση είναι η Ψ .                                                         

Για ένα σωματίδιο που κινείται πάνω στον άξονα των χ σε μία περιοχή όπου υπάρχει ένα συντηρητικό πεδίο, για κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή η εξίσωση Schrödinger έχει τη μορφή :

                        (7.6)

ħ                     (διαβάζεται h-bar) η συντομογραφία του h/2π,

m                        η μάζα ηρεμίας του σωματιδίου,

        η δεύτερη παράγωγος της κυματοσυνάρτησης ως προς x,

U(x)                η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου λόγω της θέσης του,

E                     η ολική ενέργεια του σωματιδίου.

Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου.