Φυσική Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας Γ΄ τάξη Γενικού Λυκείου (ΤΕΥΧΟΣ Γ΄)
6-8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ LORENTZ

Έστω ότι σ' ένα σημείο του συστήματος συντεταγμένων Σ βρίσκεται ένα σώμα που μετατοπίζεται, κινούμενο στη διεύθυνση του άξονα των x. Για έναν παρατηρητή ακίνητο στο Σ σε χρόνο Δt το σώμα μετακινήθηκε κατά Δx . Ένας παρατηρητής ακίνητος στο Σ' αντιλαμβάνεται ότι το γεγονός διάρκεσε χρόνο Δt' και ότι η μετατόπιση ήταν Δx'. Το Σ', όμως, κινείται με ταχύτητα u παράλληλα στον άξονα των x.

Από τις σχέσεις Εικόνα

εύκολα προκύπτουν Εικόνα

και για στοιχειώδεις μεταβολές

Εικόνα

Η ταχύτητα υ' του κινητού ως προς το Σ' θα είναι

Εικόνα

ή                                           Εικόνα

Όμως aaa = υ είναι η ταχύτητα του κινητού όπως την αντιλαμβάνεται παρατηρητής του Σ. Επομένως, η τελευταία σχέση παίρνει τη μορφή

Εικόνα                                      (6.13)

Η σχέση αυτή εκφράζει την ταχύτητα υ' του κινητού, ως προς το Σ', σε συνάρτηση  με την ταχύτητά του υ ως προς το σύστημα Σ. 

Αντίστροφα, η σχέση

Εικόνα                                       (6.14)

εκφράζει την ταχύτητα υ' του κινητού, ως προς το σύστημα Σ' σε συνάρτηση με την ταχύτητά του ως προς το Σ.

Παρατηρούμε ότι όταν οι ταχύτητες υ και u πολύ μικρότερες από c θα είναι υ' ≈ υ – u και υ ≈ υ' + u όπως προβλέπουν οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου.

Ακόμη, όταν υ = c προκύπτει υ' = c και, αντίστροφα, όταν υ' = c προκύπτει υ = c, δηλαδή όταν ένα σώμα κινείται με την ταχύτητα του φωτός η ταχύτητά του είναι η ίδια για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Το συμπέρασμα συμφωνεί με τη δεύτερη παραδοχή της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6-4

Ένας παρατηρητής στη Γη βλέπει δυο διαστημόπλοια Α, Β να κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία, με ταχύτητες 0,8c και 0,7c, αντίστοιχα, αντίθετης φοράς. (σχ. 6.9). Με τι ταχύτητα κινείται το Β ως προς το Α;

Σχ. 6.9

                                     Σχ. 6.9

Απάντηση

Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου ο πιλότος του Α θα έβλεπε το Β να πλησιάζει προς αυτόν με 0,8c + 0,7c = 1,5c. Η ταχύτητα αυτή είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός και έρχεται σε σύγκρουση με την παραδοχή ότι τίποτε δεν κινείται με ταχύτητα μεγαλύτερη του c. Ας δούμε τι προβλέπουν οι μετασχηματισμοί Lorentz. Αν θεωρήσουμε σαν Σ τη Γη και σαν Σ' το διαστημόπλοιο Α, η ταχύτητα του Β ως προς το Α θα δίνεται από τη σχέση 6.13 δηλαδή

υ'Β = Εικόνα

Αν θεωρήσω την ταχύτητα του Α ως προς τη Γη θετική θα έχω u = 0,8c και υΒ = -0,7c οπότε

υ'Β = Εικόνα και τελικά

υ'Β = Εικόνα = -0,96c

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6-5

Διαστημόπλοιο που κινείται με ταχύτητα 0,6c ως προς τη Γη εκτοξεύει πύραυλο με ταχύτητα 0,5c ως προς αυτό, και με κατεύθυνση ίδια με την κατεύθυνση της ταχύτητας του διαστημοπλοίου (σχ. 6.10). Ποια η ταχύτητα του πυραύλου ως προς τη Γη;

Σχ. 6.10

                                      Σχ. 6.10

Απάντηση

Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, ο παρατηρητής στη Γη θα έβλεπε τον πύραυλο να κινείται με την ταχύτητα του διαστημοπλοίου συν την ταχύτητά του ως προς το διαστημόπλοιο δηλαδή 0,6c + 0,5c = 1,1c. Η ταχύτητα αυτή είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός. Το άτοπο αίρεται αν χρησιμοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς Lorentz. Αν θεωρήσουμε σαν Σ τη Γη και σαν Σ' το διαστημόπλοιο η ταχύτητα του πυραύλου ως προς τη Γη θα δίνεται από τη σχέση 6.14. Είναι δηλαδή

υ = Εικόνα οπότε υ = Εικόνα = 0,85c