5-7 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ

Σε περιπτώσεις όπου η ορμή διατηρείται, η εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής μπορεί να απλουστευτεί με τη χρησιμοποίηση της έννοιας του κέντρου μάζας.

Στο προηγούμενο κεφάλαιο μιλήσαμε για το κέντρο μάζας ενός σώματος. Εδώ θα μιλήσουμε για το κέντρο μάζας ενός συστήματος σωμάτων.

Σχ. 5.20

Εικ. 5.6 Τα θραύσματα κινούνται με τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο μάζας τους να ακολουθεί την τροχιά που θα ακολουθούσε και αν δεν είχε εκραγεί το πυροτέχνημα.

Πού βρίσκεται το κέντρο μάζας;

Αν το σύστημα αποτελείται από ένα αριθμό σωμάτων πολύ μικρών διαστάσεων με μάζες m₁, m₂, … Αν x_i, y_i, z_i είναι οι συντεταγμένες του σώματος m_i, το κέντρο μάζας του συστήματος είναι στο σημείο με συντεταγμένες

Εικόνα

όπου Μη συνολική μάζα του συστήματος.

Για ένα σύστημα δύο σωμάτων μικρών διαστάσεων, που μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία, η θέση του κέντρου μάζας βρίσκεται από τη σχέση

Εικόνα

όπου x₁ και x₂ οι θέσεις των δύο μαζών σ' ένα σύστημα συντεταγμένων που σαν άξονα των x έχει την ευθεία που περνάει από τα δυο υλικά σημεία (σχ.5.20).

Η κίνηση του κέντρου μάζας

Ο δεύτερος νόμος του Newton για ένα σύστημα σωμάτων έχει τη μορφή

Εικόνα

όπου ΣF_εξ το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων στο σύστημα, Μ η μάζα του συστήματος, α_cm η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος και p η ορμή του συστήματος.

Δηλαδή το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται σαν ένα υποθετικό υλικό σημείο μάζας ίσης με τη συνολική μάζα του συστήματος αν θεωρήσουμε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δέχεται το σύστημα ασκούνται σ' αυτό.

Από το δεύτερο νόμο προκύπτει ότι αν το σύστημα είναι μονωμένο (ΣF_εξ = 0) η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή και το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται με σταθερή ταχύτητα.

Εφόσον το κέντρο μάζας του συστήματος σε αυτές τις περιπτώσεις κινείται με σταθερή ταχύτητα, ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο το

κέντρο μάζας είναι ακίνητο είναι ένα αδρανειακό σύστημα. Αυτό το σύστημα αναφοράς θα το ονομάζουμε σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας.

Αν για την αντιμετώπιση ενός προβλήματος στο οποίο η ορμή διατηρείται επιλέξουμε ως σύστημα αναφοράς το σύστημα του κέντρου μάζας το πρόβλημα απλοποιείται σημαντικά. Ως προς αυτό το σύστημα το κέντρο μάζας είναι ακίνητο και η συνολική ορμή του συστήματος μηδέν.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5-6

Οι συντεταγμένες καθενός από τρία σώματα είναι (1,0) , (3,0) και (2,5) (σχ. 5.21). Οι μάζες των σωμάτων είναι 2m, 2m και 4m αντίστοιχα. Να προσδιοριστεί η θέση του κέντρου μάζας του συστήματος
Απάντηση :

Εικόνα

Άρα το κέντρο μάζας Κ βρίσκεται στη θέση (2, 2,5)

Σχ. 5.21

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5-7

Βλήμα βάλλεται με αρχική ταχύτητα υ₀ υπό γωνία φ ως προς οριζόντιο επίπεδο. Υπό την επίδραση του βάρους του το βλήμα θα εκτελέσει παραβολική τροχιά και θα επιστρέψει στο οριζόντιο επίπεδο (σχ.5.22α). Το βλήμα σε κάποιο σημείο της τροχιάς του εκρήγνυται και χωρίζεται σε δύο θραύσματα (σχ.5.22β). Τι κίνηση θα κάνει το κέντρο μάζας του συστήματος των θραυσμάτων;

Σχ.5.17

Σχ.5.22

Απάντηση :

Η συνισταμένη δύναμη στο σύστημα των θραυσμάτων δηλαδή το διανυσματικό άθροισμα των βαρών τους είναι ίδια με το συνολικό βάρος του βλήματος. Η δύναμη λοιπόν που ασκείται στο κέντρο μάζας του συστήματος είναι ίδια πριν και μετά την έκρηξη, οπότε το κέντρο μάζας του συστήματος θα διαγράψει την ίδια τροχιά που θα διέγραφε και αν δεν είχε γίνει η έκρηξη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5-8

Κρατάμε δύο μικρές αντίθετα φορτισμένες σφαίρες ακίνητες σε απόσταση l = 0,5 m τη μία από την άλλη και στη συνέχεια τις αφήνουμε ελεύθερες να κινηθούν. Οι σφαίρες έχουν μάζες m₁ = 0,001kg και m₂ = 0,002 kg και φορτία q και -q αντίστοιχα. Αν στις σφαίρες δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις εκτός από τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις να βρεθεί σε πόση απόσταση από την αρχική θέση της m₁ θα συναντηθούν οι δύο σφαίρες.

Απάντηση :
Επιλέγουμε σαν σύστημα συντεταγμένων αυτό του οποίου η αρχή ταυτίζεται με την αρχική θέση της m₁ και ο άξονας των x με τη διάκεντρο των δυο σφαιρών (σχ. 5.23). Η αρχική θέση της m₁ είναι στο x₁ = 0 και αυτή της m₂ είναι x₂ = l.

Σχ.5.17

Σχ.5.17

Το κέντρο μάζας των δύο σωμάτων βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση από την αρχή των αξόνων

x_cm = Εικόνα = 0,33m

Αρχικά τα σώματα είναι ακίνητα άρα και το κέντρο μάζας τους είναι ακίνητο.

Η συνισταμένη των δυνάμεων στο σύστημα είναι μηδέν, άρα η ορμή του πρέπει να διατηρείται και το κέντρο μάζας να διατηρεί την αρχική του κινητική κατάσταση δηλαδή να παραμένει ακίνητο σ' όλη τη διάρκεια της κίνησης των σφαιρών. Οι σφαίρες θα συναντηθούν πάνω στο κέντρο μάζας τους, δηλαδή σε απόσταση 0,33 m από την αρχική θέση της m₁.