ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ                                

Υπάρχει ένα γινόμενο που χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική.Ονομάζεται εξωτερικό γινόμενο. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β (συμβολίζεται Α x Β) είναι εξ ορισμού ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των Α και Β, με μέτρο

c = AB |ημφ|

όπου φ η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα Α και Β.

Η φορά του διανύσματος C ορίζεται από το λεγόμενο "κανόνα του  δεξιόστροφου κοχλία". Σύμφωνα με αυτόν, το πρώτο από τα δύο διανύσματα (Α) στρέφεται προς το δεύτερο (Β), ακολουθώντας τη μικρότερη γωνία ανάμεσα στα διανύσματα. Η φορά του C είναι η φορά προς την οποία θα κινηθεί ένας δεξιόστροφος κοχλίας, που στρέφεται όπως το διάνυσμα Α.

Ένας άλλος τρόπος για να καθοριστεί η φορά του διανύσματος C είναι ο κανόνας του δεξιού χεριού: Αν τα δάχτυλα του δεξιού χεριού βρίσκονται κατά μήκος του Α και καμφθούν για να δείχνουν προς το Β (μέσω της μικρότερης γωνίας ανάμεσα στα δύο διανύσματα), ο αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση του C.

Όπως προκύπτει από την εξίσωση που δίνει το μέτρο του C, το εξωτερικό γινόμενο ανάμεσα σε δύο παράλληλα διανύσματα είναι μηδέν.

Αν A_x, A_y, Α_z είναι οι συνιστώσες του διανύσματος Α, σε τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων και Β_x, B_y, Β_z, οι συνιστώσες του διανύσματος Β, το εξωτερικό γινόμενο σε καρτεσιανές συντεταγμένες δίνεται από την εξίσωση

C = A x B =

όπου i, j και k τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες χ, y και z, αντίστοιχα.

Το εξωτερικό γινόμενο δεν είναι αντιμεταθετικό αλλά

A x B = -B x A

Εφαρμογές του εξωτερικού γινομένου

Η ροπή μιας δύναμης F ως προς σημείο Ο ορίζεται από τη διανυσματικη
σχέση

τ = r × F                       ( 4.24)

όπου r είναι ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο και τέλος ένα σημείο του διανύσματος F. Σύμφωνα με τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου η ροπή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσματα r και F και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
Το μέτρο της ροπής που προκύπτει από τον ορισμό αυτό είναι

τ = r F ημφ                       (σχ 4.77)

Αν πάρουμε υπόψη ότι rημφ = d όπου d, η κάθετη απόσταση ανάμεσα στο σημείο Ο και το διάνυσμα F, καταλήγουμε στη γνωστή σχέση τ = Fd (4.25) Επομένως η κατεύθυνση και το μέτρο της ροπής είναι ανεξάρτητα από το σημείο του F στο οποίο καταλήγει το διάνυσμα r.

Ο ορισμός της ροπής σύμφωνα με τη σχέση (4.24) πλεονεκτεί έναντι της (4.25) δηλαδή της σχέσης με την οποία σε προηγούμενη παράγραφο ορίστηκε το μέγεθος, διότι η (4.24) ορίζει ότι είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνει το μέτρο και την κατεύθυνσή της.

Η στροφορμή υλικού σημείου που στρέφεται γύρω από σημείο Ο, ορίζεται από τη σχέση

L = r x p =mr x υ                      ( 4.26)

όπου r η επιβατική ακτίνα. Παρατηρήστε πάλι ότι αυτός ο τρόπος ορισμού είναι πολύ πιο κομψός από τον ορισμό που δόθηκε στην παράγραφο 4-7. Η εξίσωση (4.26) δίνει πληροφορίες για το μέτρο τη διεύθυνση και τη φορά της στροφορμής.

Πέρα από την απλότητα και την κομψότητα, με την οποία μέσω του εξωτερικού γινομένου ορίστηκαν η ροπή και η στροφορμή, υπάρχει και μια βαθύτερη αιτία που κάνει αυτό τον τρόπο ορισμού τους απαραίτητο. Στη φυσική οι εξισώσεις πέρα από τη συνέπεια των μονάδων και των διαστάσεων πρέπει να έχουν και διανυσματική συνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα μπορούν να προστεθούν ή να εξισωθούν μόνο με διανύσματα. Οι εξισώσεις (4.24) και (4.26) έχουν αυτή τη διανυσματική συνέπεια.

Και άλλα μεγέθη στη φυσική, όπως η δύναμη που ασκεί το μαγνητικό πεδίο σε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο, ορίζονται με διανυσματικό γινόμενο. Η δύναμη αυτή (δύναμη Lorentz) ορίζεται από τη σχέση:

F =qυ x B