ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A'

Η αξιωματική μέθοδος

Η αξιωματική μέθοδος είναι ένας τρόπος κατασκευής μιας επιστημονικής θεωρίας, κατά τον οποίο ορισμένες προτάσεις (τα λεγόμενα αξιώματα ή αιτήματα) λαμβάνονται ως αρχή και από αυτά συνάγονται όλα τα θεωρήματα της θεωρίας με μια ακολουθία συλλογισμών που ονομάζεται απόδειξη. Οι κανόνες που ακολουθούν οι συλλογισμοί αυτοί είναι αντικείμενο της επιστήμης της λογικής. Όλες οι έννοιες που χρησιμοποιούνται κατά τη διαδικασία της απόδειξης (εκτός από ένα μικρό αριθμό αρχικών εννοιών) εισάγονται με ορισμούς, οι οποίοι επεξηγούν το νόημα των εννοιών αυτών με βάση γνωστές έννοιες ή άλλες έννοιες που έχουν ορισθεί προηγουμένως. Οι επιστήμες που κατασκευάζονται με την μέθοδο αυτή ονομάζονται αποδεικτικές ή παραγωγικές επιστήμες.

Η γένεση της αξιωματικής μεθόδου στην κλασσική Ελληνική αρχαιότητα

Η ιδέα της αρχής στην Ελληνική φιλοσοφική σκέψη

Η γένεση της αξιωματικής μεθόδου στα μαθηματικά είναι φαινόμενο όχι μόνο μαθηματικού χαρακτήρα. Μαθηματικές γνώσεις είχαν πολλοί λαοί και μεγάλοι πολιτισμοί. Όμως μόνο στην αρχαία Ελλάδα γεννήθηκε η ιδέα να κατασκευαστεί η Γεωμετρία ξεκινώντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αρχικών προτάσεων.

Η ιδέα της ενιαίας αρχής του κόσμου εντοπίζεται ήδη στα φιλοσοφικά σχήματα των Ιώνων φιλοσόφων, με τα οποία επιχειρούσαν να ερμηνεύσουν τον κόσμο. Ο Εμπεδοκλής ανέπτυξε τη θεωρία των στοιχείων, από την αλληλεπίδραση των οποίων γεννιέται ο κόσμος. Οι αρχαίοι ατομιστές επεχείρησαν επίσης να ερμηνεύσουν τον κόσμο ξεκινώντας από κάποιες ελάχιστες αδιαίρετες οντότητες. Έτσι η τάση να εξηγηθεί ο κόσμος ξεκινώντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αρχικών στοιχείων με κάποιους ορθολογικούς κανόνες δέσποζε στην πνευματική ατμόσφαιρα της αρχαίας Ελλάδας.

Στους κύκλους των φιλοσόφων της Πλατωνικής Ακαδημίας και των Περιπατητικών συζητείται το θέμα των αρχών πάνω στις οποίες πρέπει να κατασκευάζεται μια αποδεικτική επιστήμη. Σύμφωνα με τη θεωρία της επιστήμης του Πλάτωνα, η επιστήμη
1. είναι ένα σύνολο απόλυτων αληθειών,
2. ξεκινά από κάποιες αρχές, από τις οποίες συνάγονται οι αλήθειες της επιστήμης,
3. μελετά ιδεατά αντικείμενα που είναι σταθερά και αμετάβλητα στην πορεία του χρόνου. Απόλυτες αλήθειες μπορούν να διατυπωθούν μόνο για αντικείμενα αυτού του τύπου.

Τα μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, επιτυγχάνουν την τελειότητα στο βαθμό που οι αρχές τους προκύπτουν από τη λεγόμενη Ιδέα του Αγαθού, που στο φιλοσοφικό σύστημα του Πλάτωνα παίζει ρόλο καθαρού Απολύτου.

Ο Αριστοτέλης, από την άλλη μας άφησε στα «Αναλυτικά Ύστερα» μια αρκετά επεξεργασμένη θεωρία αποδεικτικής επιστήμης. Η γενική λογική δομή μιας αποδεικτικής επιστήμης αποτελείται από όρους και προτάσεις που έχουν τα εξής χαρακτηριστικά:

(I)

Η αποδεικτική επιστήμη είναι μια ακολουθία προτάσεων για τα στοιχεία ενός πεδίου αντικειμένων, του γ έ ν ο υ ς (αρχή της ο μ ο γ έ ν ε ι α ς ) .
Οι προτάσεις αυτές διαιρούνται σε α ν α π ό δ ε ι κ τ ε ς ή α ρ χ ι κ έ ς (αξιώματα, αιτήματα, αρχές, τα πρώτα), και α π ο δ ε ί ξ ι μ ε ς ή π α ρ ά γ ω γ ε ς (θεωρήματα).
Οι όροι της πρότασης διαιρούνται σε μ η ο ρ ι ζ ό μ ε ν ο υ ς ή α ρ χ ι κ ο ύ ς όρους (αρχές, τα πρώτα), και ο ρ ί σ ι μ ο υ ς ή π α ρ ά γ ω γ ο υ ς όρους (τα εκ τούτων).
Ωστόσο, ο Αριστοτέλης δεν απαιτεί τη ρητή απαρίθμηση όλων των αρχικών προτάσεων και όρων.

(II)

Από τις αρχικές προτάσεις, τα α ξ ι ώ μ α τ α είναι προφανή και α ν α π ό δ ε ι κ τ α , ενώ τα α ι τ ή μ α τ α είναι υποθέσεις που λαμβάνονται χωρίς απόδειξη, αν και δεν είναι πάντοτε προφανείς.

(ΙII)

Οι αρχικοί ό ρ ο ι είναι άμεσα ν ο η τ ο ί και δεν ορίζονται.

(IV)

Από τις αρχικές προτάσεις, τα αξιώματα είναι α λ η θ ε ί ς και α ν α γ κ α ί ε ς προτάσεις. Η αλήθεια των αιτημάτων όμως δεν είναι λογικά αναγκαία, αλλά γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη.

Οι αναζητήσεις πάνω στις αρχές της αποδεικτικής επιστήμης στην Ακαδημία του Πλάτωνα και το Λύκειο, συνέτειναν πιθανότατα στη δημιουργία ενός ενιαίου συστήματος αρχών, που αποτέλεσε τη βάση των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.

Το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη

Η πρωταρχική ανάπτυξη της αξιωματικής μεθόδου έχει αφετηρία στα έργα των αρχαίων Ελλήνων γεωμετρών. Η πρώτη προσπάθεια να γραφούν «Στοιχεία» της Γεωμετρίας ανήκει στον Ιπποκράτη το Χίο. Σύμφωνα με μαρτυρία του Πρόκλου, διάφοροι γεωμέτρες επιχείρησαν να γράψουν «Στοιχεία». Στην πορεία της κατασκευής των «Στοιχείων» της Γεωμετρίας τέθηκε πιθανότατα το θέμα να διευκρινιστεί ποιες είναι οι προτάσεις εκείνες από τις οποίες όλες οι άλλες προτάσεις προκύπτουν ως συμπέρασμα. Αν και τα «Στοιχεία» των γεωμετρών αυτών δε διασώθηκαν, είναι ωστόσο λογικό να υποθέσουμε ότι η έκθεση της Γεωμετρίας διέφερε από έργο σε έργο κι ότι οι αρχικές προτάσεις σ' αυτά δεν ήταν οι ίδιες.

Το Βιβλίο I των «Στοιχείων» αρχίζει με 23 Ορισμούς οι οποίοι εισάγουν τις βασικές γεωμετρικές έννοιες (σημείο, γραμμή, επιφάνεια, ευθεία, επίπεδο, γωνία, σύνορο, σχήμα) και παράγωγες έννοιες με τη βοήθεια των οποίων ορίζονται τα βασικά γεωμετρικά σχήματα (ορθή, οξεία και αμβλεία γωνία, κύκλος, τρίγωνα, τετράπλευρα, παράλληλες ευθείες). Ωστόσο, ο ορισμός της έννοιας π.χ. του σημείου ή της ευθείας που δίνει ο Ευκλείδης δε χρησιμοποιείται πουθενά στη συνέχεια στις αποδείξεις των «Στοιχείων».

εικόνα

Παράρτημα A'

Tα τρία πρώτα Αιτήματα(*) διασφαλίζουν την εκτέλεση γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη. Το τέταρτο αίτημα εξασφαλίζει ότι μια ευθεία μπορεί να προεκταθεί κατά μονοσήμαντο τρόπο, και το πέμπτο αίτημα εξασφαλίζει την ύπαρξη σημείου τομής δύο ευθειών υπό τις συνθήκες του αιτήματος.

Οι Κοινές Έννοιες(*) είναι προτάσεις που περιγράφουν γενικές ιδιότητες της ισότητας ή ανισότητας μεγεθών. Όλες οι Κοινές Έννοιες εκτός της τέταρτης αφορούν όχι μόνο γεωμετρικά μεγέθη, αλλά και αριθμούς. Μόνον η τέταρτη έχει κατ' εξοχήν γεωμετρικό χαρακτήρα. Γι' αυτό θεωρείται από ορισμένους ιστορικούς των μαθηματικών ότι πιθανόν είναι μεταγενέστερη παρεμβολή.

Η επιλογή των αιτημάτων και των Κοινών Εννοιών είναι εν γένει εύστοχη. Όλες σχεδόν οι προτάσεις αυτές διατηρήθηκαν στο σύγχρονο αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας. Ωστόσο, δεν είναι επαρκή, από σύγχρονη άποψη, για να θεμελιώσουν τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Απουσιάζουν εντελώς έννοιες όπως του «μεταξύ», «από το ίδιο μέρος», «εντός (εκτός) ενός γεωμετρικού σχήματος», και πολλές άλλες που ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί στη συνέχεια κατά τη διαδικασία των αποδείξεων. Όμως αυτό δεν αποτελεί μειονέκτημα από την Αριστοτέλεια άποψη της αποδεικτικής επιστήμης, αφού δεν επιβάλλεται η πλήρης απαρίθμηση όλων των αρχικών προτάσεων, κι επομένως επιτρέπεται η χρήση «προφανών», μη ρητά διατυπωμένων υποθέσεων στην πορεία της απόδειξης.

Η εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου έδωσε τη δυνατότητα της συστηματοποίησης του σώματος των γεωμετρικών προτάσεων κατά την αρχαιότητα και την αποφυγή λογικών λαθών όπως π.χ. οι φαύλοι κύκλοι. Επίσης συνέβαλε στην αποσαφήνιση της λογικής αλληλουχίας των εννοιών, πράγμα που προσέδωσε στη Γεωμετρία ανυπέρβλητη για την εποχή λογική αυστηρότητα.

Η γένεση της νέας αντίληψης της αξιωματικής μεθόδου στα τέλη του 19ου αι.

Ο διαχωρισμός της έννοιας του αξιωματικού συστήματος από την ερμηνεία του

Με την κατάρρευση του αρχαίου Ελληνικού πολιτισμού τα επιστημονικά κέντρα μετατοπίζονται στην Ανατολή και αργότερα στην Ευρώπη. Στη διάρκεια όλων αυτών των αιώνων το σύστημα των «Στοιχείων» παραμένει το ιδεώδες της μαθηματικής αυστηρότητας και το πρότυπο της επιστημονικής μεθόδου. Όμως η αξιωματική μέθοδος δε γνώρισε κάποια ιδιαίτερη ανάπτυξη μέχρι τα τέλη του 19ου αι. Ούτε υπήρξε κάποια σημαντική προσπάθεια βελτίωσης των εγγενών αδυναμιών της. Ο ρόλος της αξιωματικής μεθόδου στα μαθηματικά αρχίζει να αλλάζει σημαντικά από τα μέσα του 19ου αι. όταν ο Λομπατσέφσκι και ο Μπόλυαΐ απέδειξαν ότι μπορεί να κατασκευασθεί μια Γεωμετρία με αξιώματα διαφορετικά από τα Ευκλείδεια.

Οι σημαντικότερες ίσως αδυναμίες της Ευκλείδειας αξιωματικής μεθόδου σήμερα είναι ότι δεν παρέχει ακριβή περιγραφή του τι συνιστά λογική απόδειξη. Έτσι στους συλλογισμούς υπεισέρχεται το στοιχείο της γεωμετρικής εποπτείας, ιδιαίτερα σε προτάσεις που αφορούν τη συνέχεια των γεωμετρικών σχημάτων και τη σχετική τους θέση στο χώρο.

Επίσης δεν υπάρχει σαφήνεια στον ορισμό των εννοιών. Η εισαγωγή των αρχικών εννοιών π.χ. από τον Ευκλείδη γίνεται με επεξηγήσεις που δίνουν την εντύπωση προσπάθειας ορισμού, αλλά παραμένουν μη λειτουργικοί.

Το πιο σημαντικό όμως χαρακτηριστικό του ιδεώδους αυτού είναι ότι η γεωμετρική θεωρία είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με το μοναδικό της μοντέλο - το φυσικό χώρο - και οι βασικές υποθέσεις της θεωρίας κατανοούνται ως οι χαρακτηριστικές ιδιότητες αυτού του μοντέλου. Ακόμα και με την ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωμετρίας οι μαθηματικοί δε συνειδητοποίησαν αμέσως τη διαμορφούμενη νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου, η οποία μας επιτρέπει να θεωρούμε τη Γεωμετρία ως επιστήμη που κατασκευάζεται από υποθέσεις που δε συνδέονται κατ' ανάγκην με το μοντέλο του φυσικού χώρου. Η Υπερβολική Γεωμετρία φάνταζε στα μάτια των μαθηματικών του 19ου αι. περισσότερο σαν ιδιοφυές παράδοξο στο σώμα της μαθηματικής γνώσης, παρά σαν εναλλακτικό σύστημα Γεωμετρίας, ισότιμο μάλιστα προς το Ευκλείδειο. Για να νομιμοποιηθεί η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία χρειάστηκε να συνδεθεί με τις συνήθεις αντιλήψεις του χώρου στα έργα του Μπελτράμι, του Κλάιν και του Πουανκαρέ, να επινοηθούν ερμηνείες (μοντέλα) της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο πλαίσιο της κλασσικής Γεωμετρίας.

Εκτός όμως από τη Γεωμετρία, τον 19° αι. εισάγονται και μια σειρά νέες έννοιες, όπως οι ιδανικοί αριθμοί του Κούμμερ, οι υπερμιγαδικοί αριθμοί και τα γεωμετρικά τους ισοδύναμα, οι πολυδιάστατοι χώροι κτλ., η ερμηνεία των οποίων στο πλαίσιο των κλασικών μαθηματικών θεωριών γινόταν όλο και πιο πολύπλοκη. Εκτός από αυτό οι ερμηνείες αυτές αποδεικνυόταν ότι δεν είναι μοναδικές. Αυτό έδειχνε ότι οι θεωρίες αυτές πρέπει να εξετάζονται ανεξάρτητα από κάποια συγκεκριμένη ερμηνεία.

Έτσι στη διάρκεια του δεύτερου μισού του 19ου αι. προτείνονται αξιωματικοί ορισμοί μιας σειράς νέων εννοιών. Το 1854 ο Καίλεϋ προτείνει τον αξιωματικό ορισμό της αφηρημένης έννοιας της ομάδας (σε μορφή που είναι ορθή μόνο για πεπερασμένες ομάδες), το 1870 ο Κρόνεκερ προτείνει ένα σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας πεπερασμένων Αβελιανών ομάδων και, εν γένει πολλά έργα μαθηματικών του 19ου αι. - του Χ. Χάνκελ (Hermann Hankel, 1839-1873), του Χ. Βέμπερ (Heinrich Weber, 1842-1913), του Ντέντεκιντ (Riehard Dedekind, 1831-1916), και άλλων - είναι αφιερωμένα στην αξιωματικοποίηση τμημάτων της άλγεβρας.

Το 1882 ο Πας (Pasch Μ.) επιχειρεί την αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας. Στο αξιωματικό σύστημα του Πας εμφανίζονται για πρώτη φορά αξιώματα που χαρακτηρίζουν την έννοια του «μεταξύ», και εισάγεται η αρχή με τη βοήθεια της οποίας μπορεί ένα επίπεδο να διαιρεθεί από μία ευθεία και ο χώρος από ένα επίπεδο. Το 1889 ο Πεάνο (Giuseppe Peano, 1858-1932) στο έργο του για τα λογικά θεμέλια της Γεωμετρίας καταφέρνει να αξιωματικοποιήσει το τμήμα της Γεωμετρίας που μελετά τη σχετική θέση σημείων, ευθειών και επιπέδων. Το σύστημα του Πεάνο θυμίζει αυτό του Πας, όμως ο Πεάνο επιτυγχάνει να αποφύγει συλλογισμούς εποπτικού χαρακτήρα. Στο πλαίσιο της Ιταλικής σχολής, οι μαθητές του Πεάνο, Αμοδέο, Φανό (Gino Fano, 1871-1952), Ενρίκε (Federigo Enriques, 1871-1946) και Πιερί (Mario Pieri, 1860-1913), επιτυγχάνουν τη θεμελίωση της προβολικής Γεωμετρίας.

Παράλληλα γίνονται μελέτες για την αξιωματικοποίηση της αριθμητικής στα έργα του Χ. Γκράσσμαν (Hermann Grassmann, 1809- 1877), του Γκ. Κάντορ (Georg Cantor, 1845-1918), του Γκ. Φρέγκε (Gottlob Frege, 1848-1925) και του Μπ. Ράσσελ (Bertrand Russell, 1872-1970). Τα πρώτα πλήρη συστήματα αξιωμάτων της αριθμητικής προτείνονται το 1888 από το Ντέντεκιντ και το 1891 από τον Πεάνο.

Παράρτημα A'

Το αξιωματικό σύστημα του Χίλμπερτ

Σε όλες αυτές τις έρευνες που αναφέραμε δεσπόζει η τάση να διαχωριστεί η μαθηματική θεωρία από την ερμηνεία (το μοντέλο) με βάση το οποίο κατασκευάζεται. Η τάση αυτή οδήγησε και στην αξιωματική κατασκευή της Γεωμετρίας στο έργο του Ντ. Χίλμπερτ «Τα θεμέλια των μαθηματικών», το οποίο αντανακλά τη νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου. Πώς όμως εκδηλώνεται αυτή η τάση στο πεδίο της Γεωμετρίας και σε τι συνίσταται η καινοτομία του Χίλμπερτ;

Πριν την ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωμετρίας, όταν η Γεωμετρία του Ευκλείδη εθεωρείτο ως η μόνη δυνατή Γεωμετρία των σχέσεων του φυσικού χώρου, ήταν νόμιμο να επιχειρήσει κανείς να ορίσει τις βασικές γεωμετρικές έννοιες, ερμηνεύοντάς τες με βάση τα πραγματικά αρχέτυπα των εννοιών αυτών στο φυσικό χώρο. Αυτή ακριβώς ήταν η προσέγγιση του Ευκλείδη και των μετέπειτα γεωμετρών μέχρι το 19° αι. Ο ίδιος ο Ευκλείδης επιχειρεί να ορίσει π.χ. το σημείο ως «κάτι το οποίο δεν έχει μέρη», δηλαδή ως οντότητα χωρίς εσωτερική δομή ή άτομο. Ο ορισμός αυτός, που επιχειρεί να επεξηγήσει τη μαθηματική έννοια καταφεύγοντας σε αρχέτυπα του φυσικού χώρου, κατανοείται ποικιλοτρόπως από τους σχολιαστές του Ευκλείδη και τους μετέπειτα μαθηματικούς.

Όμως μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έγινε σαφές ότι η προσέγγιση του Ευκλείδη κατά τον ορισμό των αρχικών εννοιών είναι αδύνατη. Κάθε δυνατή Γεωμετρία έχει τις δικές της αρχικές έννοιες, οι οποίες εξαρτώνται από τα αξιώματα του γεωμετρικού συστήματος. Οι ορισμοί των αρχικών εννοιών έτσι συνδέονται με το δεδομένο γεωμετρικό σύστημα κι όχι πλέον με το φυσικό χώρο.

Αφού λοιπόν δεν είναι δυνατόν να δοθεί ορισμός των αρχικών βασικών εννοιών για όλες τις δυνατές γεωμετρίες, οι αρχικές έννοιες έπρεπε να οριστούν ως αντικείμενα οποιασδήποτε φύσης που ικανοποιούν τα αξιώματα της Γεωμετρίας. Τα αξιώματα αυτά ορίζουν έμμεσα τις αρχικές έννοιες. Στο πλαίσιο αυτό τα αξιώματα παύουν πλέον να θεωρούνται προφανείς αλήθειες που δε χρήζουν απόδειξης. Η έννοια του «προφανούς» αντικαθίσταται τώρα από την έννοια της «απλότητας» του αξιωματικού συστήματος.

Στο σύστημα του Χίλμπερτ τα αρχικά μαθηματικά αντικείμενα είναι τριών ειδών: τα «σημεία», οι «ευθείες» και τα «επίπεδα», που συνδέονται μεταξύ τους με τις σχέσεις του «ανήκειν», του «μεταξύ» και της «ισοδυναμίας». Το σύστημα του Χίλμπερτ εξετάζει τις αρχικές αυτές έννοιες και τις σχέσεις τους και οι πέντε ομάδες αξιωμάτων που εισάγει συνιστούν έμμεσο ορισμό των αρχικών αντικειμένων και των σχέσεών τους.

(I)

Τα αξιώματα συνδέσεως («ανήκειν») ορίζουν τις ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης μεταξύ σημείων, ευθειών και επιπέδων

¹ Τα αξιώματα αυτά είναι οκτώ:
(Ι₁) Από οποιαδήποτε δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
(Ι₂) Σε κάθε ευθεία υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία.
(Ι₃) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία που δεν κείνται στην ίδια ευθεία.
(Ι₄) Από οποιαδήποτε τρία σημεία που δεν κείνται στην ίδια ευθεία, διέρχεται ένα μόνο επίπεδο.
(I₅) Σε οποιοδήποτε επίπεδο υπάρχει πάντοτε ένα σημείο που ανήκει σ' αυτό.

(II)

Τα αξιώματα διάταξης ορίζουν τις ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης σημείων πάνω σε μια ευθεία ή ένα επίπεδο².

(III)

Τα αξιώματα ισοδυναμίας ορίζουν την έννοια της «ισότητας» δύο τμημάτων ή γωνιών³.

(ΙV)

Τα αξιώματα συνέχειας⁴.

(V)

Το αξίωμα παραλληλίας⁵ .

(Ι₆) Αν δύο σημεία βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά βρίσκεται σ' αυτό το επίπεδο.
(Ι₇) Αν δύο επίπεδα έχουν κοινό σημείο, τότε έχουν τουλάχιστον ένα ακόμα κοινό σημείο.
(Ι₈) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
² Τα αξιώματα διάταξης είναι τέσσερα:
(II₁) Από τρία διαφορετικά σημεία μιας ευθείας ένα και μόνον ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων.
(ΙΙ₂) Για οποιαδήποτε δύο σημεία Α και Γ υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Β στην ευθεία ΑΓ τέτοιο, ώστε το σημείο Γ να βρίσκεται μεταξύ του Α και του Β.
(ΙΙ₃) Για οποιαδήποτε τρία σημεία μιας ευθείας υπάρχει όχι περισσότερο από ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. Η σχέση του «μεταξύ» για σημεία σε μια ευθεία μας επιτρέπει να ορίσουμε την έννοια του ευθύγραμμου τμήματος.
(II₄) Έστω Α, Β, Γ τρία σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έστω ε ευθεία στο επίπεδο των Α, Β, Γ που δε διέρχεται από κανένα από τα σημεία Α, Β, Γ. Αν η ευθεία ε διέρχεται από ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, τότε πρέπει να διέρχεται κι από ένα σημείο του τμήματος ΑΓ ή από ένα σημείο του τμήματος ΒΓ (αξίωμα του Πας).
³ Τα αξιώματα αυτά είναι πέντε:
(ΙΙΙ₁) Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία στην ευθεία ε και Α' είναι ένα σημείο της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας ε', τότε μπορεί πάντοτε να βρεθεί σημείο Β' που βρίσκεται στο δεδομένο από το σημείο Α' μέρος της ευθείας ε' τέτοιο, ώστε το τμήμα ΑΒ να είναι ισοδύναμο (ίσο) με το τμήμα Α'Β'.
(ΙΙΙ₂) Αν δύο τμήματα είναι ισοδύναμα προς τρίτο, τότε είναι και μεταξύ τους ισοδύναμα.
(ΙΙΙ₃) Έστω ΑΒ και ΒΓ δύο τμήματα της ευθείας ε που δεν έχουν κοινό σημείο και έστω επίσης Α'Β' και Β'Γ' δύο τμήματα της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας ε' που επίσης δεν έχουν κοινό σημείο. Αν τώρα ΑΒ=Α'Β',ΒΓ=Β'Γ', τότε και ΑΓ=Α'Γ'.
Η γωνία ορίζεται ως το σχήμα που αποτελείται από δύο διαφορετικές ημιευθείες με κοινό αρχικό σημείο.
(ΙΙΙ₄) Από δεδομένη ημιευθεία σε δεδομένο ημιεπίπεδο που ορίζεται από αυτή την ημιευθεία και την προέκτασή της , μπορεί να σχηματιστεί μια μοναδική γωνία ισοδύναμη με τη δεδομένη γωνία.
εικόνα
⁴ Τα αξιώματα συνέχειας είναι δύο:
(IV₁) Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο οποιαδήποτε τμήματα. Τότε στην ευθεία ΑΒ υπάρχει πεπερασμένος αριθμός σημείων Α₁, Α₂, ..., Α_n τέτοιων ώστε τα τμήματα ΑΑ₁, Α₁Α₂, ..., Α_n-1,Α_n,να είναι ισοδύναμα με το τμήμα ΓΔ και το σημείο Β να βρίσκεται μεταξύ Α και Α_n (αξίωμα Ευδόξου-Αρχιμήδη)
(IV₂) Τα σημεία μιας ευθείας σχηματίζουν σύστημα, το οποίο, τηρουμένης της γραμμικής διάταξης, του πρώτου αξιώματος ισοδυναμίας και του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη δεν είναι επεκτάσιμο, δηλ. σ' αυτό το σύστημα σημείων δεν είναι δυνατόν να προστεθεί ένα ακόμα σημείο, έτσι ώστε στο επεκτεταμένο σύστημα που αποτελείται από το αρχικό σύστημα και το συμπληρωματικό σημείο να ικανοποιούνται τα παραπάνω αξιώματα (αξίωμα γραμμικής πληρότητας).

Παράρτημα A'

Η έννοια της ερμηνείας (μοντέλου)

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα γεωμετρικό σύστημα δίνεται με τη βοήθεια ενός συστήματος αξιωμάτων. Τα αντικείμενα που ικανοποιούν τα αξιώματα αυτού του γεωμετρικού συστήματος μπορεί να είναι διάφορα. Τα διάφορα αυτά αντικείμενα συνιστούν διαφορετικές ερμηνείες ή μοντέλα του γεωμετρικού συστήματος.

Έστω, π.χ. ότι ερμηνεύουμε τα αρχικά αντικείμενα ως εξής: ως «σημείο» θεωρούμε οποιαδήποτε σφαίρα ακτίνας R, ως «ευθεία» κάθε άπειρο κυκλικό κύλινδρο ακτίνας R, και ως «επίπεδο» οποιοδήποτε τμήμα του χώρου που περιέχεται μεταξύ δύο επιπέδων που βρίσκονται σε απόσταση 2R το ένα από το άλλο. Θα λέμε ότι ένα «σημείο» κείται επ' «ευθείας» αν η αντίστοιχη σφαίρα περιέχεται στον κύλινδρο. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να ορισθεί ως η απόσταση μεταξύ των κέντρων των αντίστοιχων σφαιρών. Με ανάλογο τρόπο μπορούν να οριστούν διάφορα «σχήματα». Τότε όλα τα αξιώματα (και επομένως και τα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας) θα πρέπει να ικανοποιούνται στην ερμηνεία (μοντέλο) αυτή.

Με τον παραπάνω τρόπο κατασκευάσαμε ένα μοντέλο του Ευκλείδειου γεωμετρικού συστήματος. Όλες οι ιδιότητες και τα θεωρήματα που προκύπτουν από το αφηρημένο σύστημα των αξιωμάτων «μεταφέρονται» στα συγκεκριμένα αντικείμενα που είναι ερμηνείες των βασικών εννοιών του αξιωματικού συστήματος. Επομένως, οποιασδήποτε φύσης κι αν είναι τα αντικείμενα αυτά και σε οποιοδήποτε κλάδο της επιστήμης κι αν ανήκουν οι ιδιότητες τους μπορούν να θεωρηθούν γνωστές εκ των προτέρων, επειδή προκύπτουν από τις ιδιότητες του αφηρημένου αξιωματικού συστήματος. Έτσι δεν απαιτείται να μελετηθούν τα αντικείμενα αυτά ξεχωριστά. Αυτό όμως διευρύνει το πεδίο εφαρμογής της Γεωμετρίας και καθιστά τη σύγχρονη αξιωματική μέθοδο ισχυρότατο επιστημονικό εργαλείο.

Εκτός από τη Γεωμετρία, η μέθοδος του μοντέλου χρησιμοποιείται και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, αλλά και σε άλλους κλάδους της επιστήμης. Στην άλγεβρα, π.χ. γνωρίζουμε ότι το σύνολο των ακεραίων είναι μοντέλο της αφηρημένης έννοιας της ομάδας. Ένα άλλο μοντέλο της ομάδας είναι το σύνολο των ρητών, το οποίο είναι ταυτόχρονα και μοντέλο της αφηρημένης έννοιας του σώματος.

Η νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου που διαμορφώθηκε στα τέλη του 19ου αι. είναι συνυφασμένη με την ιδέα του μοντέλου και συνίσταται στο ότι αντικείμενο μιας αξιωματικής θεωρίας αποτελεί οποιοδήποτε μοντέλο (ερμηνεία) της θεωρίας αυτής.

Το πρόβλημα της μη αντιφατικότητας της Γεωμετρίας

Η αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας από τον Χίλμπερτ επέτρεψε στον Φ. Κλάιν και τον Α. Πουανκαρέ να αποδείξουν τη σχετική μη αντιφατικότητα της Γεωμετρίας Λομπατσέφσκι- Μπόλυάΐ ως προς τη Γεωμετρία του Ευκλείδη. Αυτή η απόδειξη, που βασίζεται στην ιδέα του μοντέλου της αξιωματικής θεωρίας, συνίσταται στο να δείξει κανείς έναν τρόπο ερμηνείας των εννοιών και προτάσεων της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας με όρους της Ευκλείδειας (στην περίπτωση της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας η μέθοδος απέδειξε ότι αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι μη αντιφατική, τότε και η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι επίσης μη αντιφατική).

⁵ Έστω ε τυχούσα ευθεία και σημείο Α εκτός αυτής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία ε και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερο από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία ε.

Όσον αφορά την μη αντιφατικότητα της ίδιας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αυτή ανάγεται στη μη αντιφατικότητα της αριθμητικής των φυσικών αριθμών. Ωστόσο, δεν υπάρχει απόλυτη απόδειξη της μη αντιφατικότητας της αριθμητικής (αν και υπάρχουν αποδείξεις μη αντιφατικότητας υποσυστημάτων της αριθμητικής). Έτσι δεχόμαστε ότι μια αξιωματική θεωρία είναι μη αντιφατική αν μπορεί να κατασκευαστεί αριθμητικό μοντέλο της θεωρίας αυτής. Τα παραπάνω αποκαλύπτουν τον ιδιαίτερο ρόλο της αριθμητικής στο πρόβλημα της μη αντιφατικότητας, δεδομένου ότι το ανάλογο πρόβλημα για μια σειρά άλλες μαθηματικές θεωρίες ανάγεται επίσης στο πρόβλημα της μη αντιφατικότητας της αριθμητικής. Η μέθοδος της απόδειξης της σχετικής μη αντιφατικότητας μιας θεωρίας με τη βοήθεια της κατασκευής ενός μοντέλου εφαρμόζεται σήμερα ευρύτατα στα θεμέλια των μαθηματικών και τη μαθηματική λογική για την απόδειξη της σχετικής μη αντιφατικότητας διάφορων μαθηματικών και λογικών θεωριών.

Το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων της Γεωμετρίας

Η μέθοδος του μοντέλου μας επιτρέπει επίσης να λύσουμε το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων. Προκειμένου να αποδειχθεί ότι ένα αξίωμα Α της θεωρίας Τ δεν είναι αποδείξιμο από τα υπόλοιπα αξιώματα της θεωρίας αυτής, αρκεί να κατασκευαστεί ένα μοντέλο της θεωρίας Τ, στο οποίο το αξίωμα Α είναι ψευδές, ενώ τα υπόλοιπα αξιώματα είναι αληθή.

Η ύπαρξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας αποδεικνύει την ανεξαρτησία του αξιώματος παραλληλίας από τα υπόλοιπα αξιώματα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Το σύστημα αξιωμάτων της Υπερβολικής Γεωμετρίας είναι ένα σύστημα που λαμβάνεται από το παραπάνω αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη με την αλλαγή του αξιώματος παραλληλίας με το παρακάτω αξίωμα:

«Έστω ε τυχούσα ευθεία και σημείο A εκτός αυτής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία ε και το σημείο Α άγονται περισσότερες από μία ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α και δεν τέμνουν την ευθεία ε».

Με ανάλογο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί η ανεξαρτησία των αξιωμάτων συνέχειας. Η ανεξαρτησία του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη αποδεικνύεται με τη βοήθεια της κατασκευής ενός μοντέλου «μη Αρχιμήδειας Γεωμετρίας».

Ιδιαίτερο ρόλο έχει το αξίωμα (Ι₇), το οποίο στην ουσία εξασφαλίζει ότι ο χώρος έχει τρεις διαστάσεις. Η ανεξαρτησία αυτού του αξιώματος από τα υπόλοιπα αποδεικνύεται, π.χ. με την κατασκευή ενός μοντέλου τετραδιάστατoυ Ευκλείδειου χώρου.

Έτσι το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οδηγεί στη μελέτη νέων «γεωμετρικών χώρων», που διαφέρουν σημαντικά ως προς τις ιδιότητες τους από το συνήθη χώρο του Ευκλείδη.

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

§2.1 -2.10

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. i) 6 τμήματα, ii) 10 τμήματα.
2. i) 3 σημεία , ii) 3 τμήματα και 12 ημιευθείες.
3. ΑΓ=ΑΒ+ΒΓ=...
4. ΑΓ=ΑΜ+ΜΒ+ΒΝ+ΝΓ=...
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Υπολογίστε τα ΑΔ,ΒΓ ως συνάρτηση του ΕΖ.
2. Υπολογίστε τα ΓΑ,ΓΒ ως συνάρτηση του ΓΜ.
3. α) Να διακρίνετε περιπτώσεις,
β) προκύπτει από το (α).
Σύνθετα θέματα
1. Να εξετάσετε δύο περιπτώσεις. Αν το Α είναι μεταξύ των Β,Γ ή όχι.
2. 6 τροχονόμοι

§2.11 -2.16

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Αφαιρούμε την yÔz
2. 12 ορθής
3. Ορθή γωνία. Μετά από 6 ώρες.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. ΔÔΕ = ΔÔy + yÔE =…
2. Υπολογίστε τις ΓÔΑ,ΓÔΒ ως συνάρτηση της ΓÔΔ .
3. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση.
Σύνθετα θέματα
1. Υπολογίστε τις ΑÔΔ,ΒÔΓ ως συνάρτηση της xÔy .
2. ΔÔΕ = ΒÔΔ-ΒÔΕ=…

§2.17 -2.18

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Άπειροι.
2. Απλή
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Είναι ΟΑ=ΟΔ και ΟΒ=ΟΓ.
2. Η ΟΓ είναι διχοτόμος της ΑÔΒ .

§2.19

Ασκήσεις εμπέδωσης

1. i) Είναι:

ii) Είναι:
εικόνα
3. 30° και 60°
4. 72°
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. 45°
2. 35° και 55°
3. ΑÔΒ =36° κτλ.
Γενικές Ασκήσεις
1. Αν Ο μέσο ΑΒ τότε ΕΖ=ΟΖ-ΟΕ κτλ.
2. Αν Ο μέσο ΒΖ αρκεί ΔΒ=ΖΕ.
3. ΑΕ = ΑΒ + ΒΔ2, ΒΔ = ΒΓ + ΓΔ
4. Αποδείξτε ότι ΑÔx = 180°
5. 45°

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

§3.1 -3.2

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Τα τρίγωνα ABE και ΑΔΓ είναι ίσα.
2. Τα τρίγωνα ΜΑΚ ,ΚΒΛ και ΛΓΜ είναι ίσα.
3. Συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α'Β'Μ' όπου Μ, Μ' τα μέσα των ΒΓ και Β'Γ' αντίστοιχα
4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΑΒΖ
Αποδεικτικές Ασκήσεις

2 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα MΔΒ και ΜΕΓ.
3. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ.

§3.3 -3.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ' καθώς και τα ABE και Α'Β'Ε'.
ii) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ABE και Α'Β'Ε'.

β) Χρησιμοποιήστε το α).
3. Να βρείτε τρεις πλευρές ίσες.

Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Εφαρμογή του κριτηρίου ΓΠΓ.
2. Εφαρμογή των κριτηρίων ΠΓΠ και ΠΠΠ.
3. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσα.
Σύνθετα θέματα
1. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ'.
εικόνα
2. Χαρακτηριστική ιδιότητα μεσοκαθέτου. 3. α) Απλό, β) Αποδείξτε ότι ΕAΓ = ΑΒΔ.

§3.5 -3.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ, ΒΔ και ΓΕ τα ύψη.
2. α) Αν ΚΔ, ΛΗ ⊥ ΒΓ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΚ και ΕΓΑ.
β) Αν ΚΗ ⊥ ΑΓ και ΑΖ ⊥ ΑΒ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΗΑΚ και ΖΑΛ.
3. Να συγκρίνετε τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που προκύπτουν.
4. Αν ΑΔ ⊥ ΒΓ και Α'Δ' ⊥ Β'Γ' να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ'. Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αν ΜΕ ⊥ ΑΒ και ΜΔ ⊥ ΑΓ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΜΕ και ΑΜΔ.
2. Το τρίγωνο με πλευρές υ_α, μ_α, είναι ίσο με το τρίγωνο που έχει πλευρές υα, μα. 3. Αν ΒΔ ⊥ ΑΓ, Β'Δ ⊥ Α'Γ', ΓΕ ⊥ ΑΒ και ΓΕ'⊥A'B' αποδείξτε ότι

4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΕΔΒ και στη συνέχεια τα ΑΒΓ και ΕΒΖ.
5. Σε ίσες χορδές αντιστοιχούν ίσα τόξα.
Σύνθετα θέματα
1. i) Είναι ΔΒ = ΔΓ και ΔΕ = ΔΖ ii) Είναι ΑΕ = ΑΖ και ΓΖ'= BE'.
2. Αν γ = γ' προεκτείνετε τις ΑΓ, Α'Γ' κατά τμήματα ΓΔ = α, Γ'Δ' = α' αντίστοιχα.

§3.7

Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Είναι ο κύκλος (Μ, ΜΑ) χωρίς τα σημεία τομής του με την ευθεία ΒΓ.
2. Είναι ο κύκλος (Ο, 2R).

§3.8 -3.9

Ασκήσεις εμπέδωσης
2. Εφαρμογή § 3.8.
3. Να λάβετε υπόψη την προηγούμενη άσκηση.
4. Εφαρμογή § 3.8.
5. Αποδείξτε ότι το συμμετρικό κάθε σημείου της γωνίας ως προς τη διχοτόμο είναι σημείο της γωνίας.
6. Ιδιότητες μεσοκαθέτου.

§3.10 - 3.11 - 3.12

Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Θεώρημα εξωτερικής γωνίας.
2. Είναι ΒAΓ = ΒΓΑ .
3. Διακρίνετε περιπτώσεις για τη θέση του ίχνους του ύψους στη ΒΓ.
4. Θεώρημα εξωτερικής γωνίας
5. ΑΜΒ > Γ κτλ.
6. Φέρουμε ΔΕ ⊥ ΒΓ.
7. Τα τρίγωνα ΟΒΜ και ΟΓΛ είναι ίσα.
8. Είναι ΒΔ = ΓΔ.
9. Εφαρμογή του: Β = Γ συνεπάγεται β= γ.
10. Εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Από την μ_α < α2 προκύπτουν
ΑΜ < ΒΜ και AM < ΜΓ.
2. Εφαρμογή § 3.12.
3. Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM κατά ίσο τμήμα ΜΑ'.
4. Αν τα Σ, Ο, Μ δεν είναι συνευθειακά, εφαρμόζουμε την τριγωνική
εικόνα
7. Εφαρμογή § 3.12.
Σύνθετα θέματα
1.i) τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ.
ii) Όταν το O ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων.
2. Αποδείξτε ότι ΜΕΒ = ΜΒΕ .
3. Εφαρμόστε την τριγωνική ανισότητα. 4. Θεωρήστε τα συμμετρικά του Γ ως προς τις πλευρές της γωνίας.

§3.13

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Σύγκριση πλαγίων τμημάτων.
2. Σύγκριση πλαγίων τμημάτων.
3. Σύγκριση κάθετου και πλάγιου τμήματος.

§3.14 - 3.15

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Να συγκρίνετε τα αποστήματα των χορδών.
2. Ιδιότητες διακεντρικής ευθείας ενός σημείου.
3. Ισότητα εφαπτόμενων τμημάτων Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Βρείτε ισοσκελή τρίγωνα
2. Φέρτε τη ΜΟ και αποδείξτε ότι ΟMΒ = ΒMΓ .
3. Η ΟΡ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.

§3.16

Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων.
2. Εφάπτονται εσωτερικά.
3. Εφάπτονται εξωτερικά.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. i) Αποδείξτε ότι PO-2R < PO < PO + 2R
ii) Το Α είναι μέσο του ΟΓ.
2. i) απλό,
ii) Ο₁Ο₂ < Ο₁Α + ΑΒ + ΒΟ₂
iii) ΑΒ < ΑΟ₁ + Ο₁Ο₂ + Ο₂Β.
3. Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων.

§3.17 - 3.18

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Διχοτομούμε μια ορθή γωνία.
2. Απλή.
3. Κατασκευή 3 § 3.18.
4. Αρχικά κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετο του ΒΓ = α.
5. i), ii) Αρχικά κατασκευάζουμε μια ορθή γωνία xAy .
Γενικές Ασκήσεις
1. Στη Γ'Β' παίρνουμε σημείο Β" τέτοιο ώστε Γ'Β" = ΓΒ.
2. Ισότητα τριγώνων.
3. Πάνω στον κύκλο παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ = ΑΒ.

5. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και παίρνουμε το μέσο Ε της ΑΓ.
6. Φέρουμε τη διχοτόμο ΒΔ και παίρνουμε το μέσο Μ της ΒΓ.
7. Προεκτείνουμε τις διαμέσους AM και Α'Μ' κατά ίσα τμήματα.
8. Ιδιότητα μεσοκαθέτου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

§4.1 - 4.5

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Αποδείξτε ότι Δ = Ε .
2. Αποδείξτε ότι Ο₁ = A₁
3. Αποδείξτε ότι A₁ = B₁
4. Βρείτε δύο κατάλληλες γωνίες ίσες.
5. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση.
6. Είναι ΟΜ ⊥ ΑΒ,....
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. ΑΜ ⊥ ΒΓ οπότε ΑΜ//Γx.
2. Αποδείξτε ότι ΑΒ=ΑΕ.
3. Αποδείξτε ότι ΑΔ=ΑΒ.
4. ΔΕ=ΔΙ+ΙΕ =...
5. ΒΓ=ΒΔ+ΔΕ+ΔΓ = ....
Σύνθετα Θέματα
1. Αποδείξτε ότι ΕΖ//ΒΓ και ΜΚ//ΒΓ.
2. Φέρουμε ΓZ//Ax//By.
3. ΔΕ=Ι_αΕ-Ι_αΔ
4. α) απλό
β)ΒΕ+ΓΖ=ΒΑ+ΑΓ=σταθερό
γ) Προεκτείνουμε την ΕΜ κατά ίσο τμήμα.

§4.6 - 4.8

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. α) Β = 60°, Γ = 30°
β) Β = 36°, Γ = 54°
2. A = 36° οπότε ΒΙΓ = 108°
3. Β = Γ = 36°
4. Οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές.
5. Δ = 36°
6. ω =45°, φ = 55°
7. ν = 7
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. B_εξ =A + Γ οπότε…. Β = Γ
2. Παρατηρήστε ότι είναι εξωτερικές γωνίες τριγώνου

3. ΔAΕ + ΑΕΔ = 90°, ΑΕΔ εξωτερική στο τριγ. ΑΕΓ
4. ΑΕΒ + A2 + Β2 = 180° κτλ.
5. Υπολογίστε την A από τριγ. ΑΒΓ και την ΕΔΓ από τριγ. ΔΕΓ.
6. Αποδείξτε ότι Ζ = E .
7. Αποδείξτε ότι Ζ = Η .
Σύνθετα θέματα
1. Αν η ΔΕ τέμνει την Β Γ στο Κ αποδείξτε ότι το τριγ. ΒΔΚ είναι ορθογώνιο.
2. Παρατηρήστε ότι το τριγ. ABE είναι ισοσκελές.
3. Αρκεί ΔAΒ + A + ΓAΕ = 180°.
4. α) Αποδείξτε ότι ΔΒΓ =Ε β) Προκύπτει από τα τρίγ. ΒΔΓ και ΔΓΕ.
5. i) απλό ii) ΖAΗ = ΖAΔ + ΓAΗ , κτλ.
6. Αν η διχοτόμος της Β τέμνει την ΔΓ στο Ε, από τριγ. ΔΖΕ...
7. Αποδείξτε ότι α//β.
Γενικές Ασκήσεις
1. Υπολογίστε τις ΒΔΓ και ΓΕΑ ως συνάρτηση των A, Β, Γ . Είναι Β + Γ = 120° (A = 60°)
2. Παίρνουμε το μέσο Ζ του ΕΓ.
3. Φέρουμε ΔΗ ⊥ ΑΒ και ΔΚ ⊥ ΑΓ
4. Είναι Β + Δ = 180° (αφού A = Γ = 90° )
5. i) Είναι Β > Γ (ΑΒ < ΑΓ)
ii) προεκτείνουμε την AM κατά ίσο τμήμα
iii) ΒAΕ = ΕAΓ = A2 οπότε από i) και ii) ...

6. Έχουμε τρία ισοσκελή τρίγωνα.
7. Παρατηρήστε τα ίσα εφαπτόμενα τμήματα που σχηματίζονται.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

§5.1 - 5.2

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Τρίγ. ΑΔΕ ισοσκελές
2. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται
3. i) Α Η/7-ΓΖ
ii) Τα παραλληλόγραμμα έχουν μια κοινή διαγώνιο
4. Τρίγ. ΑΕΔ ισοσκελές

Αποδεικτικές ασκήσεις
1. ΜΕ=ΑΔ και τριγ. ΜΔΒ ισοσκελές
2. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ABE και ΔΖΓ
3. Φέρουμε την ΑΓ
4.Τα ΑΖΒΓ και ΑΒΓΗ είναι παραλληλόγραμμα.
5. Γράφουμε κύκλο (Ο,λ), όπου Ο τυχαίο σημείο της μιας ευθείας.
Σύνθετα θέματα
1.i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΕΚ και ΓΗΖ
ii) Τα παραλληλόγραμμα, ανά δύο έχουν μια κοινή διαγώνιο
2. Αποδείξτε ότι ΓΖ,ΓΕ διχοτόμοι
3. Αρκεί Γ + ΒΓΕ + ΔΓΖ = 180°
4. Φέρουμε από το Δ παράλληλη στην ΑΒ
5. Αν ΓΔ η θέση της γέφυρας φέρουμε ΒΕ//=ΓΔ.

§ 5.3 - 5.5

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. ΑΕ//=ΓΖ
2. ΖΕ = ΒΔ2 = ΑΓ
3. Να λάβετε υπόψη σας την εφαρμογή της § 4.4
4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΔΓΖ
5. Να βρείτε τις ιδιότητες των διαγωνίων του
6. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΚΝ, ΒΚΛ, ΜΓΛ και MAN
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο και η ΒΔ διχοτόμος
2. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΔΕ
ii) Με άθροισμα γωνιών σε κατάλληλο τρίγωνο
3. Φέρουμε την ΕΖ
4. Αν ΚΛ ⊥ ΕΖ, φέρουμε ΕΗ ⊥ ΔΓ και ΚΜ ⊥ ΒΓ.
Σύνθετα θέματα
1. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΜΕΔ και ΜΖΓ
2. Αρκεί γων. ΒΖΓ = γων. ΖΒΓ.
3.i) Το άθροισμα ισούται με το ύψος ΒΗ (σταθερό),
ii) Από το τυχαίο σημείο Μ φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ και εφαρμόζουμε το (i)

§ 5.6 - 5.9

Ασκήσεις εμπέδωσης
1.Τα Δ,Ε είναι μέσα των ΑΒ,ΑΓ
2. Τα Δ,Η και Ζ,Ε είναι μέσα πλευρών
3. Να λάβετε υπόψη σας την εφαρμογή της §4.4.
4. Τα Ε,Ζ είναι μέσα πλευρών και $ΑΓ = \dfrac{ΒΓ}{2}$.
5. Να λάβετε υπόψη σας την ιδιότητα του βαρύκεντρου
6. Το Ε είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΓΔ
7. Το ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμο και ΑΓ = ΒΓ2 .
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. ί) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΕΖ
ii) Η ΔΜ διάμεσος και τα Ε,Ζ μέσα πλευρών
2. Φέρουμε την ΔΒ
3. Είναι ΜAΔ + ΔΜΑ = 90° και Β + Γ = 90°
4. Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο
5. Φέρουμε την ΑΓ. Τα Κ,Η είναι βαρύκεντρα τριγώνων
6. Παίρνουμε το μέσο Ζ του ΑΓ
7. i) Να αποδείξετε ότι το ΒΕΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
ii) Το Η είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΓ
8. Είναι ΜΔ = ΑΔ και ΜΔ = ΔΒ2
9. Αν Μ το σημείο τομής των ΕΗ και ΚΖ, αρκεί Μ = 90° .
10. Ο δρόμος συνδέει τα μέσα των αποστάσεων .
Σύνθετα θέματα
1. Είναι EZ\\ ΑΒ και ΔΕ=ΕΓ
2. Φέρουμε τη διάμεσο AM, οπότε ΑΜΓ = 30°
3. Είναι ΖΗ // = ΚΓ2 και Κ το βαρύκεντρο.
4. Παρατηρήστε ότι Β = 2Ε = 2Γ
5. Προεκτείνουμε την BE που τέμνει την ΑΓ στο Ζ
6. Είναι ΒΜ\\ΕΓ και Η ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΜ

7. i) Απλό
ii) Αν Ο το μέσο του ΑΒ, αρκεί ΟΚ//ΒΓ.
8. i) Απλό ii) Με άθροισμα γωνιών σε κατάλληλο τρίγωνο, iii) Αν Κ το σημείο τομής των AM και ΔΖ αρκεί ΒΚ//ΕΖ.

§5.10 - 5.11

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Η ΕΖ διάμεσος τραπεζίου και Η,Θ μέσα πλευρών τριγώνου.
2. ΔΕ//ΒΓ και Β = Γ
3. ΕΗ=ΘΖ και Ε,Ζ,Η,Θ μέσα πλευρών τριγώνου.
4. KE = AΔ2 και ΚΛ // ΔΓ
5. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΖΓ.
6. Η ΜΔ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΒΒ'Γ'Γ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αρκεί ΗΖ=ΒΖ
2. Το Ζ είναι σημείο της μεσοκαθέτου και το ΖΗΒΓ ισοσκελές τραπέζιο.
3. Φέρουμε ΒΕ ⊥ ΔΓ, οπότε ΕΒΓ = 30°
4. Παίρνουμε το μέσο Ε της ΑΔ.
5. Αρκεί ΜΕ = ΒΓ2
6. Είναι ΔΗ = AB2 και Δ, Ε, Ζ μέσα πλευρών τριγώνου.
7. Να λάβετε υπόψη σας το πόρισμα.
8. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση. Για να είναι ορθογώνιο πρέπει ΑΓ=ΒΔ.
9. Η ΖΗ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΕΒΓΔ.
10. Βρείτε κατάλληλα τραπέζια με διάμεσο την ΚΚ'.
Σύνθετα θέματα
1. Αν η διχοτόμος της A τέμνει την ΒΓ στο Ε αρκεί ΔΕ διχοτόμος της Δ .
2. Φέρουμε ΜΕ ⊥ ΑΔ
3. Αν Κ το κέντρο του ΑΒΓΔ φέρουμε ΚΚ' ⊥ ε
4. Η ΖΗ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΔΕΓΑ, οπότε .... Β = 30°
5. i) Αποδείξτε ότι το ΑΒΜΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο ii) Η προέκταση της ΑΕ τέμνει την ΔΓ στο Ζ

Γενικές ασκήσεις
1.Αν ΑΒ<ΑΓ είναι
ΑΔ = AB2 < AΓ 2και
ΑΕ = AΓ 2 > AB2 .
2. Παίρνουμε το μέσο Μ του ΔΕ.
3. α) Τα τρίγωνα ΑΒ'Β και ΑΕ'Ε είναι ισοσκελή β) Αποδείξτε ότι Β'Ε'=ΓΕ'.
4. α) απλό β) Αρκεί ΗΕΖ = ΖΕΓ
γ) ΗΕ = AB2 = ΖΓ
δ) από το (γ) προκύπτει ότι Γ = 2ΖΕΓ
5. Παίρνουμε το μέσο Δ του ΒΚ και φέρνουμε Δ'Δ ⊥ ε
6. α) απλό β) Το Η είναι ορθόκεντρο του τριγ. ΑΔΖ
7. Παρατηρήστε ότι ΜΛ // = ΒΗ2 και ΜΚ // = ΕΓ2
8) α) Το Μ είναι το μέσο του ΟΓ και το Ζ βαρύκεντρο του τριγ. ΒΟΓ β) Να λάβετε υπόψη σας το (α)
9) i) Φέρουμε ΟΚ διάμεσο στο τριγ. ΟΑΒ. Αρκεί να τέμνει την ΔΓ στο μέσο Λ
10) Φέρουμε από τα Δ και Ε κάθετες στις ΑΒ,ΒΓ και ΑΓ,ΒΓ αντίστοιχα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

§6.1 - 6.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Για το 1ο σχήμα είναι x=40° και y = 2x = 80°. Για το 2ο σχήμα είναι x=50° και y = 180° - x - 35° = 105°.
2. Είναι = 120° (Εφαρμογή §6.3).
3. Είναι x = 40° (γωνία χορδής και εφαπτ.). Επίσης 2y + ΒΕ = 180° οπότε y = 140°. Για το 2ο σχήμα, είναι y-x=l20°. Από Γ = ΓΒΔ προκύπτει x+y=260° οπότε x=70° και y=190°.
4. Είναι = 95° και = 45°.
5. Είναι ΒΟΓ = ΖΑ = 140° και ΟΒΓ = ΟΓΒ = 20°.
Επίσης ΜΒΓ = ΜΓΒ = 12 70° = 35° οπότε ΒΜΓ = 110° .

6. Είναι y εξωτερική γωνία τριγώνου. Σωστή η α).
7. Βλέπε «τόξο που δέχεται γνωστή γωνία».
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Έστω Μ το μέσο του . Για το ευθύ αποδείξτε ότι η εφαπτομένη στο Μ και η ΑΒ τεμνόμενες από την MB, σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Για το αντίστροφο αποδείξτε ότι ΜAΒ = ΜBΑ .
2. Αποδείξτε ότι ΑBΓ + ΑBΑ = 1∟.
3. Αν η MP τέμνει την ΑΔ στο Ν, δείξτε ότι: ΝΡΔ + ΡΔΑ = 1 ∟.
4. Είναι η τομή δύο κατάλληλων τόξων.
Σύνθετα Θέματα
1. Φέρτε την κοινή εσωτερική (ή εξωτερική) εφαπτομένη και δείξτε ότι Β = Γ.
2. Έστω Ζ,Η τα δεύτερα κοινά σημεία των ΑΒ,ΑΓ με το μικρότερο κύκλο. Αρκεί Δ μέσο .
3. Αποδείξτε ότι ΑΔΡ = ΔΑΡ

§ 6.5 - 6.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Ιδιότητες εγγεγραμμένων τετραπλεύρων. Β = 120°, Γ = 60° και Δ =80°
2. Αρκεί A = 90° .
3. Αποδείξτε μια γωνία ορθή.
4. Εφαρμογή 1 § 6.6.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Φέρτε την κοινή χορδή Α Β και αποδείξτε ότι: Γ = Δ_εξ
2. Αποδείξτε ότι οι ευθείες ε, ΔΕ τεμνόμενες από την ΑΓ σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
3. Αν τα ύψη ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ τέμνονται στο Η, παρατηρήστε ότι τα τετράπλευρα ΒΖΗΔ, ΔΗΕΓ και ΒΖΕΓ είναι εγγράψιμα.
4. Αποδείξτε ότι Κ + Μ = 180°. Γι' αυτό λάβετε υπόψη ότι τα τρίγωνα ΚΑΔ και ΜΒΓ είναι ισοσκελή. (ΚΛΜΝ είναι το τετράπλευρο που σχηματίζεται).

Σύνθετα θέματα
1. Αποδείξτε ότι ΕAΟ + ΑΕΔ = 90° ή φέρτε την εφαπτόμενη στο Α.
2. Αρκεί ΕΔΟ = ΟΕΔ . Παρατηρήστε ότι ΟΒΔΜ και ΟΜΓΕ είναι εγγράψιμα.
3. Αν Δ,Ε,Ζ είναι οι προβολές ενός σημείου Μ του περιγ/νου κύκλου στις ΒΓ,ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα, αποδείξτε ότι: ΖΕΜ + ΜΕΔ = 180°. (παρατηρήστε ότι τα ΜΖΑΕ, ΜΕΔΓ είναι εγγράψιμα).
4. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΔΕ είναι ίσα.

§6.7

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. i) Μεσοπαράλληλη ii) Κύκλος με κέντρο το κέντρο της γης
2. i) Ο κύκλος (Ο,R-ρ) ii) Ο κύκλος (Α,ρ).
3. Η θέση του θησαυρού είναι κοινό σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ και του κύκλου (Δ,4m).
4. Αν (O.R) είναι ο δοσμένος κύκλος ο γ.τ είναι ο κύκλος (Ο,R/2).
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αν Ο το μέσο του ΒΓ είναι ΑΟ = ΒΓ2 = σταθ. οπότε ο γ.τ. του Α είναι ο κύκλος

2. Αν Μ η προβολή του Α πάνω σε ευθεία ε, που διέρχεται από το Β, τότε ΑΜΒ = 1∟.
3. Είναι ΟΜ=ΜΑ.
4. i) Είναι: ΒΓ = 2ΑΜ = 2μ, ii) Το τρίγωνο ΑΔΜ κατασκευάζεται.
Σύνθετα θέματα
1. Το Μ είναι και μέσο του ΑΡ.
2. i) Το Α είναι τομή δύο γ.τ. ii) Από το Α φέρουμε ΑΚ//ΒΝ οπότε Β μέσο ΚΓ.
3. Το ΑΒΔ κατασκευάζεται, οπότε το Γ είναι στη τομή δύο γ.τ.
Γενικές ασκήσεις
1. i) Αρκεί ΔAΕ = 180° , ii) Αποδείξτε ότι δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, iii) Είναι ΔΜΕ = 90° .

2. Ο Κύκλος , όπου δ = ΑΓ - ΑΒ και Κ το μέσο της ΒΓ.
3. Προεκτείνουμε εκατέρωθεν τη ΒΓ.
4. Το Β ανήκει σε κύκλο ακτίνας R2 .
5. Αρκεί Ε + Η = 180° .
6.Βρείτε κατάλληλα εγγράψιμα τετράπλευρα
7. Μια εξωτερική γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική.
8. i) Η₁Μ₁Μ₂Μ₃ ισοσκελές τραπέζιο.
ii) Αποδείξτε ότι δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές.
iii) Προκύπτει με συνδυασμό των i) και ii).

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ

Ακτίνα κύκλου
Άκρα ευθύγραμμου τμήματος
Αμβλεία γωνία
Αμβλυγώνιο
Ανάλυση
Αντιδιαμετρικό σημείο
Αντικείμενες ημιευθείες
Άξονας συμμετρίας
Αξίωμα
Απαγωγή σε άτοπο
Απλή τεθλασμένη γραμμή
Απόδειξη
Απόστημα
Απόσταση σημείου
Αρχή ημιευθείας

Βάση
Βάσεις παραλληλογράμμου
Βαρύκεντρο (κέντρο βάρους) τριγώνου

Γεωμετρική κατασκευή
Γεωμετρικά όργανα
Γεωμετρικός τόπος
Γραμμές
Γωνία

Γωνία δύο κύκλων
Γωνία κυρτή
Γωνία δύο τεμνουσών
Γωνία χορδής και εφαπτομένης
Γωνίες εκτός
Γωνίες εναλλάξ
Γωνίες εντός
Γωνίες επί τα αυτά μέρη

Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβήτης
Διαγώνιος
Διάκεντρος
Διάκεντρη ευθεία
Διάμεσος τραπεζίου
Διάμεσος τριγώνου
Διάμετρος κύκλου
Διερεύνηση
Διχοτόμος

Εγγεγραμμένη γωνία
Εγγεγραμμένος κύκλος
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
Εγγράψιμο τετράπλευρο
Έγκεντρο
Εξωτερική

Εξωτερική γωνία
Επίκεντρη γωνία
Επίπεδο
Επίπεδο σχήμα
Επιφάνεια
Ευθεία
Ευθεία γωνία
Εφαπτομένη
Εφεξής γωνίες

Ημιεπίπεδο
Ημιευθεία
Ημικύκλιο

Θεώρημα

Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισόπλευρο
Ισοσκελές

Κάθετη ευθεία
Κάθετες πλευρές
Κανόνας

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ

Κατακορυφήν γωνίες
Κατασκευή
Κέντρο παραλληλογράμμου
Κέντρο συμμετρίας
Κεντρική συμμετρία
Κλειστή τεθλασμένη γραμμή
Κοινή εφαπτομένη δύο κύκλων
Κοινή χορδή
Κοινό μέτρο ευθύγραμμων τμημάτων
Κορυφή
Κύκλος
Κύρια στοιχεία
Κυρτή γωνία
Κυρτή τεθλασμένη γραμμή

Λόγος ομοιότητας

Μεσοκάθετος
Μεσοπαράλληλος
Μέσο τόξου
Μέσο τμήματος
Μη κυρτή γωνία
Μη κυρτή τεθλασμένη γραμμή
Μηδενική γωνία
Μήκος
Μοίρα

Ομόκεντροι κύκλοι
Οξεία γωνία
Οξυγώνιο
Ορθογώνιο
Ορθογώνιοι κύκλοι
Ορθή γωνία
Ορθόκεντρο τριγώνου

Παρεγγεγραμμένος κύκλος
Παράκεντρο
Παράλληλες ευθείες
Παραλληλόγραμμο
Παραπληρωματικές γωνίες
Πεντάγωνο
Περιγεγραμμένος κύκλος
Περίμετρος
Περίκεντρο
Περιγεγραμμένο τετράπλευρο
Περιγράψιμο τετράπλευρο
Περίκεντρο τριγώνου
Πόρισμα
Προβολή

Ρόμβος

Σημεία
Σκαληνό τρίγωνο
Συμπληρωματικές γωνίες
Συμμετρικό σημείο
Σχήμα

Τεθλασμένη
Τέμνουσα κύκλου
Τέταρτη ανάλογος
Τεταρτοκύκλιο
Τετράγωνο
Τετράεδρο
Τετράπλευρο
Τόξο κύκλου
Τραπέζιο
Τριγωνική ανισότητα
Τρίγωνο

Υποτείνουσα
Ύψος

Φορέας

Χορδή τόξου
Χώρος

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ

Αβικέννα (Avicenna)
Βλ. Ιμπν Σίνα
Αγάνης (Aghanis, περ. 5ος-6ος αι.)
αλ-Αμπχαρί ή αλ-Αμπαχρί (Athir al-Din al-Abhari, πέθανε το 1263)
Αλφόνσο του Βαλλαντολίντ (Alfonso of Valladolid, 1270-1346)
Αμοδέο Φ. (Amodeo F.)
Αμπού Καμίλ (Abu Kamil Shuja ibn Aslam ibn Muhammad ibn Shuja, περ. 850-930)
Αμπούλ-Ουάφα (Mohammad Abu al-Wafa al-Buzjani, 940-997/8)
Απόλλων
Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262-190 π.Χ.)
Αρισταίος (περ. 370-300 π.Χ.)
Αριστοτέλης ο Σταγειρίτης (384-322 π.Χ.)
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (περ. 287-212 π.Χ.)
Αρχύτας ο Ταραντίνος (περ. 400-360 π.Χ.)

Βάντσελ Πιερ Λοράν (Wantzell Pierre Laurent, 1814-1848) Βέμπερ Χέινριχ (Weber Heinrich, 1842-1913)
Βιέτ Φρανσουά (Viete Francois, 1540-1603)
Βιτέλο (Vitelo, περ. 1225-1280)

Γ Γερσωνίδης (Gersonides ή Levi ben Gerson, 1288-1344)
Γκαλουά Εβαρίστ (Galois Evariste, 1811-1832).
Γκούριεφ Σιμεόν Ε. (Gur'ev S.E. 17647-1813)
Γκρισογκόνο Φεντερίκ Μπ. (Grisogono Federik Β, 1472-1538)

Διόδωρος (1ος αι. π.Χ.)
Διοκλής (περ. 240-180 π.Χ.)

Ε Εμπεδοκλής (περ. 492-432 π.Χ.)
Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (περ. 276-194 π.Χ.)
Ερμίτ Σαρλ (Charles Hermite, 1822-1901)
Εύδοξος ο Κνίδιος (περ. 408-355 π.Χ.)
Ευκλείδης (περ. 325-265 π.Χ.)
Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (περ. 480-540 μ.Χ.)

Ζιράρ Αλμπέρ (Girard Albert, 1595-1632)

Ήρων ο Αλεξανδρινός (περ. 10-75 μ.Χ.)

Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα (Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani, 826-901)
Θεαίτητος (περ. 415-368 π.Χ.)
Θεόδωρος ο Κυρηναίος (465-398 π.Χ.)

Ιμπν αλ Χάίθάμ (Abu Ali al-Hasan ibn al Haytham, περ. 965-1039)
Ιμπν Σίνα (Abu Ali al-Husain ibn Abdallah ibn Sina, 980-1037)
Ιππίας ο Ηλείος (460-400 π.Χ.)
Ιπποκράτης ο Χίος (περ. 470-410 π.Χ.)

Καμπανός του Νοβάρα (Johannes Campanus of Novara, ακμ. περ. 1260)
Κάντορ Γκέοργκ (Cantor Georg, 1845 -1918)
Καρντάνο Ιερώνυμος (Cardano Hieronimo, 1501-1576)
αλ-Κασί (Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud Al-Kashi, περ. 1380- 1429)
Κατάλντι Πιέτρο A. (Cataldi Ρ.Α., 1548-1626)
Κέπλερ Ιωάννης (Kepler Johann, 1571-1630)
Αλ-Κιντί (Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Sabbah al-Kindi, περ. 801-873)
Κλάβιος Χριστόφορος (Clavius (Schliissel), 1537-1612)
Κλάουζεν Τόμας (Clausen Thomas, 1801-1885).

Λάιμπνιτς Γκότφριντ Βίλχελμ (Leibniz Gottfried Wilhelm, 1646-1714)
Λάμπερτ Γιόχαν Χάινριχ (Lambert Johann Heinrich 1728-1777)
Λεζάντρ Αντριέν Μαρί (Legendre Adrien Marie, 1752-1833)

Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo of Pisa = Fibonacci, περ. 1180-1250)
Λεονάρντο ντα Βίντσι (Leonardo da Vinci, 1452-1519)
Λομπατσέφσκι Νικολάι I. (Lobachevsky Nikolai I., 1793-1856)
Λούκας Φρανσουά Εντουάρντ Ανατόλ (Lucas Francois Edouard Anatole, 1848-1891)

αλ-Μαγκριμπί (Muhyi l'din al-Maghribi, περ. 1220-1283)
Μέναιχμος (περ. 380-320 π.Χ.)
Μιρίτ Τσελεμπί (Mint Chelebi πέθανε το 1525 περίπου)
Μόνζ Γκασπάρ (Monge Gaspard, 1746-1818)
Μπερτράν Λουί (Bertrand Louis, 1731-1812)
Μπινέ Ζακ Φιλίπ Μαρί (Binet Jacques Philippe Marie, 1786-1856)
αλ-Μπιρουνί (Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni, 973-περ. 1048)
Μπόλυαϊ Γιάνος (Bolyai Janos, 1802-1860)
Μπόλυαΐ Φαρκάς (Bolyai Farkas, 1775-1856)
Μπορέλλι Τζιοβάνι Αλφόνσο (Borelli Giovanni Alfonso, 1608-1679)

αλ-Ναϊριζί (Abu'l Abbas al-Fadl ibn Hatim al-Nayrizi, περ. 865-922)
αλ-Ναντίμ, Ιμπν (Muhammad ibn Ishaq ibn Abi Ya'qub al-Nadim, πέθανε το 993)
Νασίρ αντ-Ντιν αλ Τουσί (Nasir al-Din al-Tusi, 1801-1274)
Νικομήδης (280-210 π.Χ.)
ντα Βίντσι βλ. Λεονάρντο ντα Βίντσι Ντεζάργκ Ζιράρ (Desargues Gerard, 1593-1662)
Ντεκάρτ Ρενέ ή Καρτέσιος (Descartes Rene, 1596-1650)
ντελλα Φραντσέσκα Πιέρο (della Francesca Piero, περ. 1414-1492)
Ντοροντνόφ Α.Β. (Dorodnov A.V.)

Ο Όυλερ Λεονάρντ (Euler Leonhard, 1707-1783)
Ουλουγκμπέκ Μ.Τ. (Ulugh Beg Mohammed Targai, 1394-1449)
Ουώλλις Τζον (Wallis John, 1616-1703)

Πάππος (περ. 290-350 μ.Χ.)

Πασκάλ Μπλαιζ (Pascal Blaise, 1623-1662)
Πατσόλι Λουκά (Pacioli Luca, 1445-περ. 1514)
Πλάτων (429-348 π.Χ.)
Πλούταρχος (ακμ. περ. 50-100 μ.Χ.)
Πονσελέ Βίκτωρ (Poncelet Victor, 1788-1867)
Ποσειδώνιος ο Ρόδιος (135-51 π.Χ.)
Πρόκλος (412-485)
Πτολεμαίος Κλαύδιος (περ. 85-165)
Πυθαγόρας ο Σάμιος (περ. 569-475 π.Χ.)

Ράμος Πέτρος (Petrus Ramus ή Pierre de la Ramee)
Αλ-Ρουμί (Jalal ad-Din al-Rumi ή Mawlana, 1207-1273)

Σακκέρι Τζιρόλαμο (Saccheri Girolamo, 1667-1733)
Σιμπλίκιος (490-560)
Σίμπσον Τόμας (Simpson Thomas, 1710-1761)
αντ-Ντιν ασ-Σιραζί (Sadr ad-Din as-Shirazi, 1236-1311)

αλ-Τζαουχαρί (al-Abbas ibn Said al-Jawhari, 9ος αι.)
Τζορντάνο Βιτάλε (Giordano Vitale, 1633-1711)
Τσεμποταριόφ Νικολάι Γκ. (Chebotarev N.G., 1894-1947)

Υψικλής (2ος αι. π.Χ.)

Φιμπονάτσι (Fibonacci)
βλ. Λεονάρδος της Πίζας
Φιν Ορόνς ή Φινέος Ορόντιος (Fine Oronce ή Finaeus Orontius, 1494-1555)

αλ-Χαγιάμ Ομάρ (al-Khayyam Omar, περ. 1050-1130)
αλ-Χαναφί (al-Hanafi, 1178-1258)
αλ-Χουαρίζμι (Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizml, περίπου 780-850)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ

1) Αλιμπινίση Α., Δημάκου Γ., κ.ά., Θεωρητική γεωμετρία Β' Λυκείου, ΟΕΔΒ.
2) F.G.-M., Ασκήσεις Γεωμετρίας (Ιησουϊτών), μετάφραση στα ελληνικά Δ. Γκιόκα,
Εκδόσεις Καραββία, τόμοι 1-4, Αθήνα, 1952.
3) Ιωαννίδη I., Γεωμετρία, Εκδόσεις Κορφιάτη, τόμοι 1-12, Αθήναι, 1973.
4) Ιωαννίδη Ι., Επίπεδος Γεωμετρία, Εκδόσεις Π. Γρηγορόπουλου.
5) Κανέλλου Σ. Γ., Ευκλείδειος Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, 1976.
6) Κισκύρα Ν.Α., Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, 1957.
7) Νικολάου Ν., Θεωρητική Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, 1973.
8) Νικολάου Ν., Μεγάλη Γεωμετρία, Αθήναι.
9) Ντάνη I., Γεωμετρία Τεύχη 1-2.
10) Πάλλα Α., Μεγάλη Γεωμετρία.
11) Πανάκη I. P., Γεωμετρία του Τριγώνου, Εκδόσεις Gutenberg.
12) Παπαμιχαήλ Δ., Σκιαδά Α., Θεωρητική Γεωμετρία, ΟΕΔΒ.
13) Παπανικολάου Γ., Θεωρητική Γεωμετρία, Αθήναι.
14) Σταμάτη Ε., Ευκλείδεια Γεωμετρία, τόμοι I - III, ΟΕΣΒ, αρχαίο κείμενο και μετάφραση των Στοιχείων του Ευκλείδη, ΟΕΣΒ, Αθήνα, 1975.
15) Τσαρούχη Χ., Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, 1969.
16) Τόγκα Π. Γ., Θεωρητική Γεωμετρία.
17) Τόγκα Π. Γ., Ασκήσεις και Προβλήματα Γεωμετρίας.
18) Τσίντσιφα Γ., Γεωμετρία, Εκδόσεις Σύγχρονου Βιβλιοπωλείου.

ΞΕΝΗ

1) Berger Μ., Pansu P., Berry J., Saint-Raymond X., Problems in Geometry, Springer-Verlag, 1984.
2) Blumenthal L.M., A modern view of geometry, Dover, N.Y 1961.
3) Bonola R., Non-Euclidean Geometry, Dover, 1955.
4) Caronnet Th., Exercices de Geometrie, 8eme edition, Librairie Vuibert, 1-7 livres, Paris.
5) Coxeter H., Introduction to Geometry, Wiley & Sons Inc, N.Y. 1969.
6) Coxeter H. and Greitzer S., Geometry Revisited, MAA, 1975.
7) Dorrie H., 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Pub. Inc, N.Y., 1965.
8) Eves H., A survey of Geometry, Allyn of Bacon Inc, Boston, 1974.
9) Forder H., The Foundations of Euclidean Geometry, Dover, 1958.
10) Hollinger Α., Problemes de Geometrie, Bucurest.
11) Jacobs H., Geometry, W. H. Freeman & Co.
12) Knorr W.R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, Dover, N.Y. 1986.
13) Lebosse G., Hemery G., Geometrie, 1960.
14) Ogilvy C.S., Excursions in Geometry, Dover Pub. Inc., N.Y. 1969.
15) Posamentier Α., Salkid Ch., Challenging Problems in Geometry, Dover Pull. Inc., 1970.
16) Sved M., Journey into Geometries, MAA, 1991.
17) Tuller Α., Introduction to Geometries, Van Nostrand Reinhold, 1967.
18) Yale P. B., Geometry and Symmetry, Dover Pub. Inc., N.Y., 1968.

Βάσει του ν. 3966/2011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α').

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.