ΚΕΦΑΛΑΙΟ5

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ-ΤΡΑΠΕΖΙΑ

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τα τετράπλευρα που έχουν παράλληλες πλευρές, θα τα ταξινομήσουμε και θα εξετάσουμε τις χαρακτηριστικές ιδιότητές τους. Ως εφαρμογές θα αποδειχθούν κάποιες βασικές προτάσεις για τα τρίγωνα, τα τετράπλευρα και τις παράλληλες ευθείες.

Josef Alberts

Josef Alberts (Γερμανός, 1888-1976).
«Αφιέρωμα στο τετράγωνο: οπτασία», λάδι σε σανίδα, 1959.
Συλλογή Μουσείου Solomon R Guggenheim, Νέα Υόρκη.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

5.1 Εισαγωγή

Όπως είδαμε στην §2.20, το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται τετράπλευρο. Κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ (σχ.1) έχει δύο διαγωνίους ΑΓ και ΒΔ, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους.
Στα επόμενα, όταν λέμε τετράπλευρο, θα εννοούμε κυρτό τετράπλευρο.
Το τετράπλευρο που έχει δύο μόνον πλευρές παράλληλες λέγεται τραπέζιο (σχ.2), ενώ το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο (σχ.3).

5.2 Παραλληλόγραμμα

Παραλληλόγραμμο

Ορισμός

Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Δηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, όταν ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ.

• Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

(i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.
(ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.
(iii) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

Απόδειξη των i), ii)

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ (σχ. 5). Έχουμε:
Β₁ = Δ₁ = ω (εντός εναλλάξ).
ΒΔ κοινή πλευρά.
Β₂ = Δ₂ = φ (εντός εναλλάξ).
Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. Επίσης έχουμε A = Γ και Β = Δ = φ + ω.

Απόδειξη της ιδιότητας iii)

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ. Έχουμε:

Σχήμα 1

Σχήμα 2

Σχήμα 3

Σχήμα 4

Σχήμα 5

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Σχήμα 6

Σχήμα 7

Σχήμα 8

Σχήμα 9

Σχήμα 10

ΑΒ = ΓΔ
Β₁ = Δ₁ = ω (εντός εναλλάξ).
A₁ = Γ₁ = φ (εντός εναλλάξ).
Άρα, τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ είναι ίσα, οπότε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ.

ΠΟΡΙΣΜΑ I

Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του.

Για το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου

ΠΟΡΙΣΜΑ II

Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα (σχ.7).

Αν τα τμήματα (σχ.8) είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος (σχ.9).

• Κριτήρια για παραλληλόγραμμα

Στην παράγραφο αυτή θα αποδείξουμε προτάσεις (κριτήρια) οι οποίες εξασφαλίζουν ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο: Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Οι απέναντι πλευρές ανά δυο είναι ίσες.
(ii) Δυο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.
(iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δυο είναι ίσες.
(iv) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Για να αποδείξουμε τα κριτήρια, θα πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να αποδείξουμε ότι σε κάθε περίπτωση, οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου είναι παράλληλες.
(i) Έστω ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ (σχ. 10). Αν φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ, τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ που είναι ίσα, γιατί ΑΒ = ΓΔ, ΑΔ = ΒΓ και ΒΔ κοινή πλευρά. Άρα Β₁ = Δ₁ = ω και Β₂ = Δ₂ = φ , οπότε ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

(ii) Έστω ΑΒ// = ΓΔ (σχ.10). Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι ίσα, γιατί ΑΒ = ΓΔ, Β₁ = Δ₁ = ω και η ΒΔ είναι κοινή πλευρά. Επομένως, όμοια με το (i), το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
(iii) Αν Α = Γ = ω και Β = Δ = φ (σχ. 11) η σχέση Α + Β + Γ + Δ = 4 ∟γράφεται 2ω + 2φ = 4∟ ή φ + ω = 2∟. Επομένως, έχουμε ότι Α + Δ = 2∟, οπότε ΑΒ // ΓΔ και Α + Β = 2∟, οπότε ΑΔ // ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
(iv) Έστω ΑΟ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ (σχ.12). Τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ, καθώς και τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ είναι ίσα. Επομένως, όμοια με το (i), θα είναι ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Σχήμα 11

Σχήμα 12

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραμμα, ποια όχι και γιατί;

Εικόνα

2. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο;
3. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράμμου.

Εικόνα

4. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του παραλληλογράμμου ΔΕΖΗ.

Εικόνα

5. Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν:
i) Δύο απέναντι γωνίες είναι ίσες.
ii) Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές.
iii) Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες.
iv) Δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.
(Σημειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση).

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Η διχοτόμος της A τέμνει τη ΔΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΒΓ.
2. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα, ώστε ΟΕ = ΟΖ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο.
3. Έστω Ε και Ζ, τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι:
i) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο.
ii) οι ΑΓ, ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν.

Μικροπείραμα

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αν η παράλληλη από το Ε προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ, να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΒΖ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (AB = ΑΓ) και σημείο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε ΜΕ // ΑΒ (Ε σημείο

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

του ΑΓ) και ΜΔ//ΑΓ (Δ σημείο του ΑΒ). Να αποδείξετε ότι ΜΔ + ΜΕ = ΑΒ.

Μικροπείραμα
2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε σημείο της ΑΓ. Φέρουμε ΔΖ//ΒΕ (Ζ σημείο του ΑΓ). Να αποδείξετε ότι ΔΕ//ΒΖ.
3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά τμήμα ΓΕ = ΔΓ και τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΖ = ΔΑ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά.

Μικροπείραμα

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζ αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΔΗ = ΒΔ και ΖΕ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι
i) ΑΗ = ΑΖ,
ii) τα σημεία Ζ, Α και Η είναι συνευθειακά.
5. Από σημείο Α να φέρετε τέμνουσα δύο παράλληλων ευθειών με τρόπο, ώστε το μεταξύ των παραλλήλων τμήμα της να είναι ίσο με δοσμένο τμήμα λ.

Μικροπείραμα

Σύνθετα θέματα

1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ, Η και Κ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα,

ώστε ΑΕ = ΓΗ και ΒΖ = ΔΚ. Να αποδείξετε ότι
i) το τετράπλευρο ΕΖΗΚ είναι παραλληλόγραμμο,
ii) οι ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΚΖ συντρέχουν.
2. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΓ και επί της ημιευθείας ΔΑ θεωρούμε σημείο Ζ, ώστε ΔΖ = ΔΓ. Να αποδείξετε ότι ΖΓΕ = 90°.
3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΓ και την ΑΔ κατά τμήμα ΔΖ = ΔΓ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ, Γ και Ε είναι συνευθειακά.
4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημείο Δ της ΑΓ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΓΔ. Να αποδείξετε ότι η ΒΓ διχοτομεί τη ΔΕ.
5. Ένα ποταμός, του οποίου οι όχθες είναι ευθύγραμμες, διέρχεται μεταξύ δύο χωριών που απέχουν άνισες αποστάσεις από τις όχθες του. Σε ποια θέση πρέπει να κατασκευασθεί μια γέφυρα κάθετη προς τον ποταμό, ώστε τα δύο χωριά να βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τις αντίστοιχες εισόδους της γέφυρας;

Σχήμα 13

Είδη παραλληλογράμμων

Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε τα είδη των παραλληλογράμμων, δηλαδή τα παραλληλόγραμμα που έχουν και κάποιες επιπλέον ιδιότητες. Διακρίνουμε τρία είδη παραλληλογράμμων: το ορθογώνιο, το ρόμβο και το τετράγωνο.

5.3 Ορθογώνιο

Ορισμός

Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή.

Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), προκύπτει ότι όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές.

• Ιδιότητες ορθογωνίου

Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο. Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες (σχ.14).Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα (A = Δ = 90°, ΑΔ κοινή, ΑΒ = ΔΓ), οπότε ΑΓ = ΒΔ.

• Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο

Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία.
(ii) Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες.
(iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές.
(iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του παραλληλογράμμου.
(ii) Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ = ΒΔ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα (ΑΒ = ΔΓ, ΑΓ = ΒΔ, ΑΔ κοινή),οπότε A = Δ. Αλλά A + Δ = 2∟, οπότε A = Δ = 1∟. Επομένως, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.
(iii) Αν έχει τρεις ορθές γωνίες θα είναι και η άλλη ορθή, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι 4∟.
(iv) Αν όλες οι γωνίες είναι ίσες, προφανώς όλες είναι ορθές.

5.4 Ρόμβος

Ορισμός

Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες.

• Ιδιότητες του ρόμβου

(i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα.
(ii) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ΑΒΓΔ ρόμβος. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, η διάμεσος του ΑΟ είναι ύψος του και διχοτόμος της γωνίας A. Επομένως ΑΓ ⊥ ΒΔ και η ΑΓ διχοτομεί την A. Όμοια η ΑΓ διχοτομεί τη Γ και η ΒΔ τις Β και Δ.

Σχήμα 14

Σχήμα 15

Σχήμα 16

Σχήμα 17

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Σχήμα 18

Σχήμα 19

• Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος

Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
(ii) Είναι παραλληλόγραμμο και δυο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.
(iii) Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.
(iv) Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i) και (ii) Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου.
(iii) Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ ⊥ ΒΔ. Στο τρίγωνο ΑΒΔ η ΑΟ είναι διάμεσος, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Επίσης, η ΑΟ είναι και ύψος, επειδή ΑΓ ⊥ ΒΔ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, οπότε ΑΒ = ΑΔ. Επομένως το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.
(iv) Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και ΑΓ διχοτόμος της A. Τότε πάλι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές (αφού ΑΟ διχοτόμος και διάμεσος), οπότε το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

5.5 Τετράγωνο

Ορισμός

Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

• Ιδιότητες τετραγώνου

Από τον ορισμό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. Επομένως, σε κάθε τετράγωνο:

(i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.
(ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
(iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.
(iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του.

• Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Αποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο, αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.
(ii) Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του.
(iii) Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες.
(iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.
(v) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του.
(vi) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι
i) ορθογώνια, ii) ρόμβοι, iii) τετράγωνα,
ποια όχι και γιατί;

Εικόνα

2. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι:
i) Ορθογώνιο ii) Ρόμβος
3. Σε τι είδους τρίγωνα χωρίζονται τα παρακάτω σχήματα από τις διαγωνίους τους;
i) Ορθογώνιο ii) Ρόμβος iii) Τετράγωνο
4. Να αναφέρετε δύο ομοιότητες και δύο διαφορές που αφορούν πλευρές, γωνίες ή διαγωνίους μεταξύ των ζευγών των σχημάτων:
i) Τετράγωνο - Ρόμβος ii) Τετράγωνο - Ορθογώνιο
iii) Ορθογώνιο - Ρόμβος

5. Σημειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση:
i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου δεν είναι ίσες.
ii) Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες.
iii) Ένας ρόμβος με μία ορθήγωνία είναι τετράγωνο.
iv) Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος.

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ φέρουμε ΑΕ ⊥ ΔΓ καιΓΖ ⊥ ΑΒ. Να αποδείξετε ότι το ΑΖΓΕ είναι ορθογώνιο.
2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και ΒΔ = 2ΑΓ. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΟΒ και ΟΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΑΕΓΖ είναι ορθογώνιο.
3. Να αποδείξετε ότι αν οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου δε συντρέχουν, τότε σχηματίζουν ορθογώνιο.
4. Να αποδείξετε ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
5. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο Ο. Παίρνουμε δύο σημεία Ε και Ζ της ΑΓ, ώστε ΟΕ = ΟΖ = ΟΒ = ΟΔ. Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι τετράγωνο.
6. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ και Ν αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ. Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο.

Μικροπείραμα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και Μ το μέσο της ΒΔ. Από το Δ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ε. Αν η ΕΜ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι ρόμβος.
2. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ, τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε ΑΕ = ΒΖ. Να αποδείξετε ότι
i) ΑΖ = ΔΕ, ii) ΑΖ ⊥ ΔΕ.

Μικροπείραμα

3. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν Η είναι το σημείο τομής των ΑΖκαι ΒΕ και Θ το σημείο τομής των ΔΖ και ΓΕ, να αποδείξετε ότι το ΕΘΖΗ είναι ρόμβος.
4. Να αποδείξετε ότι αν δύο κάθετα τμήματα έχουν τα άκρα τους στις απέναντι πλευρές τετραγώνου, τότε είναι ίσα.

Μικροπείραμα

Σύνθετα θέματα

1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β = 45°. Από το μέσο Μ της ΓΔ φέρουμε κάθετο πάνω στη ΓΔ και έστω Ε και Ζ τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τις ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα (ή τις προεκτάσεις τους). Να αποδείξετε ότι το ΔΕΓΖ είναι τετράγωνο.

Μικροπείραμα

2. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε ΒΕ ⊥ ΑΓ. Αν η διχοτόμος της γωνίας ΔΒΕ τέμνει τη ΓΔ στο Ζ, να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΓΖ.
3. Να αποδείξετε ότι: i) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με ένα από τα ύψη του), ii) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με το ύψος του).

Μικροπείραμα

Σχήμα 20

Εφαρμογές των παραλληλογράμμων

5.6 Εφαρμογές στα τρίγωνα

ΘΕΩΡΗΜΑ I

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα (σχ.20). Θα αποδείξουμε ότι ΔΕ // = BΓ2 .

Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε:

(i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και

(ii) ΔΖ // ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή ΔΕ = ΒΓ2 .

ΘΕΩΡΗΜΑ II

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του.

Μικροπείραμα

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε (σχ.21). Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Z είναι το μέσο της ΑΓ, το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ΔΖ // ΒΓ. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ.

ΘΕΩΡΗΜΑ III

Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε₁, ε₂, ε₃ οι οποίες τέμνουν την δ₁ στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ (σχ.22). Αν μια άλλη ευθεία δ₂ τέμνει τις ε₁, ε₂, ε₃ στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι ΔΕ = ΕΖ.
Φέρουμε ΑΚ // ΔΖ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΕΖΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = ΔΕ (1) και ΗΚ = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο ΑΚΓ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και ΒΗ // ΓΚ. Άρα το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή ΑΗ = ΗΚ (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΔΕ = ΕΖ.

• Η μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων

Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε₁ και ε₂ και ένα τμήμα ΑΒ = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις ε₁ και ε₂. Αν από το μέσο Κ της ΑΒ φέρουμε την ευθεία ε παράλληλη προς τις ε₁ και ε₂, παρατηρούμε ότι κάθε σημείο Μ της ε ισαπέχει από τις ε₁ και ε₂ , αφού
ΜΓ = ΜΔ = υ2 .

Αντίστροφα , αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τις ε₁ και ε₂, το Μ τότε είναι σημείο μεταξύ των παραλλήλων και ισχύει ΜΓ + ΜΔ = ΓΔ = υ, οπότε ΜΓ = ΜΔ = υ2 .

Έτσι τα τετράπλευρα ΜΓΑΚ και ΜΔΒΚ είναι παραλληλόγραμμα (ΜΓ// = ΑΚ, ΜΔ // = ΚΒ), οπότε ΜΚ // ε₁, ε₂. Επομένως, το Μ ανήκει στην ευθεία ε.

Σχήμα 21

Σχήμα 22

Σχήμα 23

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι:
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δυο παράλληλες ευθείες ε₁ και ε₂ είναι μία ευθεία ε παράλληλη προς τις ε₁ και ε₂, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δυο παράλληλες.
Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των ε₁ και ε₂.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

Απόδειξη

Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των ΑΒ,ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.
Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ (σχ.24α). Παρατηρούμε ότι τα Ε και Θ είναι τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΔ, οπότε

ΕΘ =// ΒΔ2 (1)

Όμοια από το τρίγωνο ΒΓΔ προκύπτει ότι ΖΗ =// ΒΔ2 (2)

Από τις (1) και (2) έχουμε ότι ΕΘ = // ΖΗ, οπότε το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ανάλογο συμπέρασμα ισχύει και σε μη κυρτό τετράπλευρο (σχ.24β).

Σχήμα 24α

Σχήμα 24β

Μικροπείραμα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα (σχ.25).

Λύση

Φέρουμε μια ημιευθεία Αx και παίρνουμε σε αυτή τα ίσα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ. Φέρουμε τη ΒΕ και από τα Δ, Γ και Α παράλληλες προς αυτή, οι οποίες τέμνουν την ΑΒ στα σημεία Ζ και Η. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα III, σελ. 110, θα είναι ΑΗ = ΗΖ = ΖΒ.

Σχήμα 25

Σχήμα 25

Μικροπείραμα

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου

ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα $\frac{2}{3}$του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τις δύο διαμέσους ΒΕ και ΓΖ. Επειδή Β₁ + Γ₁ < Β + Γ < 2∟, οι δύο διάμεσοι τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο Θ του τριγώνου. Αν η ΑΘ τέμνει τη ΒΓ στο Δ, θα αποδείξουμε ότι i) η ΑΔ είναι η τρίτη διάμεσος του τριγώνου, δηλαδή ΒΔ = ΔΓ και ii) ΑΘ = 23ΑΔ.

i) Στην ημιευθεία ΘΔ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = ΑΘ. Παρατηρούμε ότι τα σημεία Ε και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΚΓ, οπότε EΘ =// ΓΚ2 (1).

Όμοια από το τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε ΖΘ =// ΒΚ2 (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΕ //ΓΚ και ΓΖ // ΒΚ, δηλαδή το ΒΘΓΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, οπότε ΒΔ = ΔΓ.
Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του ΑΒΓ, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου.
ii) Από το παραλληλόγραμμο ΒΘΓΚ έχουμε ακόμη

ΘΔ = ΔΚ = ΘΚ2 , άρα ΘΔ = ΑΘ2 ή ΑΘ = 2ΘΔ.

Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι

ΕΘ = ΓΚ2 = ΒΘ2 ή ΒΘ = 2ΘΕ.

Όμοια από τις (2) και (3) έχουμε ΓΘ = 2ΘΖ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Επίσης έχουμε ότι ΑΔ = ΑΘ + ΘΔ = 2ΘΔ + ΘΔ = 3ΘΔ. Άρα

ΘΔ = 13ΑΔ, οπότε ΑΘ = 23ΑΔ.

Όμοια προκύπτει ότι ΒΘ = 23 ΒΕ και ΓΘ = 23 ΓΖ.

Σχήμα 26

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Στην παραπάνω πρόταση
θεωρήσαμε το σημείο τομής Θ
των δύο διαμέσων ΒΕ και ΓΖ και
αποδείξαμε ότι η ΑΘ αν
προεκταθεί είναι η τρίτη
διάμεσος ΑΔ. Αυτός ο τρόπος
αποτελεί μια βασική μέθοδο
για να αποδεικνύουμε
ότι τρεις ευθείες συντρέχουν
σε κάποιο σημείο.

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Σχήμα 27

Σχήμα 28

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Όταν το τρίγωνο είναι
ορθογώνιο, το ορθόκεντρο
είναι η κορυφή της ορθής
γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο
τρίγωνο το ορθόκεντρο
βρίσκεται εκτός του
τριγώνου.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:
Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ από κάθε κορυφή του ισούται με τα 23 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου.

5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου

Λήμμα

Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από τις κορυφές Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ (σχ.27).
Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΚΑΓΒ, ΛΑΒΓ και ΜΒΑΓ έχουμε: ΚΑ = ΒΓ = ΑΛ, ΛΓ = ΑΒ = ΓΜ και ΚΒ =ΑΓ = ΒΜ.
Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Από τις κορυφές του Α, Β, Γ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές (σχ.28). Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. Δηλαδή οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η.
Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Μικροπείραμα

ΠΟΡΙΣΜΑ

Οι κορυφές Α, Β, Γ, τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Πράγματι οι κορυφές π.χ. Β,Γ και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ ορίζουν το τρίγωνο ΒΗΓ.
Τα ύψη ΗΔ,ΒΖ και ΓΕ του τριγώνου ΒΗΓ τέμνονται στο Α, οπότε το Α είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΗΓ.

5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου

ΘΕΩΡΗΜΑ I

Η διάμεσος ορθογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) και τη διάμεσό του ΑΜ (σχ.30). Θα αποδείξουμε ότι ΑΜ = ΒΓ2.

Φέρουμε τη διάμεσο ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ. Το ΜΔ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε ΜΔ // ΑΒ. Αλλά ΑΒ ⊥ ΑΓ, επομένως και ΜΔ ⊥ ΑΓ. Άρα, το ΜΔ είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο ΑΜΓ, οπότε ΑΜ = ΜΓ, δηλαδή ΑΜ = ΒΓ2 .

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Μικροπείραμα

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή:

ΘΕΩΡΗΜΑ II

Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του ΑΜ (σχ.31).

Αν ΑΜ = ΒΓ2 θα αποδείξουμε ότι η γωνία Α είναι ορθή.

Επειδή έχουμε ΑΜ = ΜΓ, οπότε Α₁ = Γ (1) και ΑΜ = ΜΒ, οπότε Α₂ = Β (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Α₁ + Α₁ = Β + Γ, δηλαδή Α = Β + Γ . Αλλά Α + Β + Γ = 2∟ , οπότε 2Α = 2∟ ή Α = 1∟.

Σχήμα 29

Σχήμα 30

Σχήμα 31

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Σχήμα 32

Σχήμα 33

ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30^ο,τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με Β = 30° (σχ.32).

Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ = ΒΓ2.

Επειδή Β = 30°, είναι Γ = 90° - 30° = 60°. Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ και είναι $ΑΜ = \dfrac{ΒΓ}{2} = ΜΓ$. Έτσι Α₂ = Γ = 60°, οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Επομένως ΑΓ = ΜΓ = ΒΓ2.

Αντίστροφο, αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΑΓ = ΒΓ2, θα αποδείξουμε ότι Β = 30°.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ, οπότε ΑΜ = ΒΓ2= ΜΓ = ΑΓ (αφού ΑΓ = ΒΓ2). Άρα το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο, οπότε Γ = 60°. Επομένως Β = 90° - 60° = 30°.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα x και y.

Εικόνα

2. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω.

Εικόνα

3. Υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται;
4. Στο παρακάτω σχήμα να δικαιολογήσετε την ισότητα ΑΜ =ΔΕ.

Εικόνα

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°) ο κύκλος διαμέτρου ΒΓ διέρχεται από το Α;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ και Ζ τυχαίο σημείο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι η ΔΕ διχοτομεί την ΑΖ.
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΔ. Αν Ε, Ζ και Η είναι τα μέσα των ΒΔ, ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο.
3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ.
4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με Β = 30°. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΕΖ=ΑΓ.
5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι μ_β = μ_γ ,να αποδείξετε ότι β = γ.
6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°). Προεκτείνουμε τη ΓΑ κατά τυχαίο τμήμα ΑΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΗ ⊥ ΒΓ, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΓΕ ⊥ ΔΒ.
7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°) με Β = 30° και Δ, Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ = ΕΔ. Να αποδείξετε ότι το ΑΓΕΖ είναι ρόμβος.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°) και το ύψος του ΑΔ.
i) Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΕΔΖ = Α = 90°.
ii) Αν Μ είναι το μέσο της ΕΖ, να αποδείξετε ότι ΔΜ = ΒΓ4 .

2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε και Ζ των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Αν η ΕΖ τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Η, να αποδείξετε ότι ΓΗ = ΑΓ4.

3.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με Β > Γ φέρουμε τη διάμεσό του ΑΜ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΜΑΔ = Β - Γ.
4. Αν Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ.
5.Αν Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ΑΕ και ΑΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΒΔ.

Μικροπείραμα
6.Σε τρίγωνο ΑΒΓ, Δ είναι το μέσο της διαμέσου ΑΜ.

Αν η ΒΔ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε, να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΕΓ2.

Μικροπείραμα

7.Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΑΒ. Αν η ΔΕ τέμνει την ΑΓ στο Η και τη ΒΓ στο Ζ, να αποδείξετε ότι

i) ΒΖ = ΖΓ, ii) ΓΗ = ΑΗ2.

8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 30° η κάθετος στο μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Να αποδείξετε ότι:

i) ΜΔ = ΑΔ, ii) ΜΔ = ΑΒ3.

9.Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν Η, Κ οι προβολές των κορυφών Α και Γ στη διαγώνιο ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΕΗ ⊥ ΚΖ.
10.Τρία χωριά που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία ανήκουν στον ίδιο δήμο. Ο δήμος αποφασίζει να κατασκευάσει δρόμο (ευθεία), ο οποίος να ισαπέχει από τα τρία χωριά. Πώς θα γίνει η χάραξη του δρόμου; Πόσοι τέτοιοι δρόμοι υπάρχουν;

Μικροπείραμα

Σύνθετα θέματα

1.Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρουμε το ύψος του ΑΔ. Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΔΕΖ = Β - Γ.
2.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) φέρουμε το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι αν Β = 15°, τότε ΑΔ = ΒΓ4 και αντίστροφα. (Υπόδειξη: Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ).

Μικροπείραμα

3. Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ θεωρούμε το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου ΑΒΓ και τα μέσα Ε, Ζ και Η των ΑΒ, ΓΔ και ΚΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΕΗ//ΚΖ.
4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 2Γ < 90° και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΔ. Να αποδείξετε ότι η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά ΑΓ.
5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Αν Ε είναι η προβολή του Β στη διχοτόμο ΑΔ, να αποδείξετε ότι:
i) ΕΜ//ΑΓ,

ii) EM = ΑΓ - AΒ2,

iii) ΔΕM = Α2.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του ΒΔ και Μ το μέσο του τμήματος ΓΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΒ κατά τμήμα ΒΕ=ΔΒ. Να αποδείξετε ότι η κάθετη από το Μ στην ΑΒ, η κάθετη από το Α στην ΕΓ και η ΒΔ συντρέχουν.

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

7. Αν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής Α τριγώνου ΑΒΓ στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο της γωνίας Β αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
i) Το ΑΚΒΛ είναι ορθογώνιο.
ii) Η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το μέσο της ΑΓ.
8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) το ύψος

του ΑΔ και η διάμεσός του ΑΜ. Αν Ε, Ζ οι προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
i) ΑΔ = ΕΖ,
ii) ΑΜ ⊥ ΕΖ,
iii) Η διάμεσος ΑΜ το τμήμα ΔΖ και η παράλληλη προς την ΕΖ από το Β συντρέχουν.

Σχήμα 34

Σχήμα 35

Τραπέζια

5.10 Τραπέζιο

Ορισμός

Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες.

Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ (σχ.34) του τραπεζίου ΑΒΓΔ λέγονται βάσεις του τραπεζίου.
Κάθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.

ΘΕΩΡΗΜΑ I

Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Δηλαδή, αν ΕΖ διάμεσος του τραπεζίου ΑΒΓΔ, τότε:

i) ΕΖ // ΑΒ, ΓΔ και EΖ = ΑΒ + ΓΔ2 (1).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) (σχ.35), τη διαγώνιο του ΒΔ και Ε το μέσο της ΑΔ. Από το Ε φέρουμε ευθεία ε παράλληλη των ΑΒ και ΓΔ που τέμνει τις ΒΔ και ΒΓ στα Κ και Ζ αντίστοιχα. Τότε:
Στο τρίγωνο ΑΒΔ το Ε είναι μέσο της ΑΔ και ΕΚ//ΑΒ, οπότε το Κ είναι το μέσο της ΒΔ και EΚ = ΑΒ2 (1).

Επίσης στο τρίγωνο ΒΔΓ το Κ είναι μέσο της ΒΔ και ΚΖ//ΓΔ, οπότε το Ζ είναι το μέσο της ΒΓ και ΚΖ = ΓΔ2 (2).

Επομένως η ΕΖ είναι διάμεσος του τραπεζίου και
i) ΕΖ // ΑΒ, ΓΔ (από κατασκευή).

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ii) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι

ΕK + KZ = ΑΒ2 + ΓΔ2 ή EΖ = ΑΒ + ΓΔ2 .

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΠΟΡΙΣΜΑ

Η διάμεσος ΕΖ τραπεζίου ΑΒΓΔ διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεών του.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αποδείξαμε παραπάνω ότι το Κ είναι μέσο της ΒΔ (σχ.35).Όμοια, αν φέρουμε την ΑΓ (σχ.36), στο τρίγωνο ΑΔΓ το Ε είναι μέσο της ΑΔ και ΕΛ // ΓΔ, οπότε το Λ είναι μέσο της ΑΓ και ΕΛ = ΓΔ2 (3).

Επομένως, η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ, Λ των διαγωνίων του και προφανώς ΚΛ // ΑΒ, ΓΔ. Επίσης από τις (1) και (3) προκύπτει ότι:

ΕΛ - ΕΚ = ΓΔ2 - ΑΒ2 ή ΚΛ = ΓΔ - ΑΒ2 (με ΓΔ > ΑΒ).

Μικροπείραμα

5.11 Ισοσκελές τραπέζιο

Ορισμός

Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

• Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου

Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε:
(i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες.
(ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i) Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο (ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ=ΒΓ). Φέρουμε τα ύψη ΑΗ και ΒΚ. Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΚΓ είναι ίσα (Η = Κ = 90°, ΑΔ = ΒΓ και ΑΗ = ΒΚ = υ), οπότε Γ = Δ. Επειδή Α + Δ = 180° και Β + Γ = 180° (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), έχουμε και Α = Β.
(ii) Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ (σχ. 39) είναι ίσα (ΑΔ = ΒΓ, ΓΔ κοινή και ΑΔΓ = ΒΓΔ), οπότε ΑΓ = ΒΔ.

Σχήμα 36

Σχήμα 37

Σχήμα 38

Σχήμα 39

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

• Κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές

Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις.

(i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες.
(ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο:
(i) αν προεκτείνουμε τις μη παράλληλες πλευρές του σχηματίζονται δύο ισοσκελή τρίγωνα,
(ii) η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων είναι μεσοκάθετος της κάθε βάσης.

Απόδειξη

(i) Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο (ΑΒ//ΓΔ) και Ο το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΓ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΔΓ είναι ισοσκελή, αφούA₁ = Β₁ και Δ = Γ (ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο).
(ii)Η μεσοκάθετος ε της βάσης ΑΒ διέρχεται από το Ο, επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. Η ε είναι κάθετος και στη ΓΔ επειδή ΓΔ//ΑΒ. Αφού η ε διέρχεται από το Ο, είναι και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΟΓΔ, άρα μεσοκάθετος και στη ΓΔ.

Σχήμα 40

Σχήμα 40

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Από τα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, y, ω και θ.

2. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο;
3. Τι ονομάζεται διάμεσος τραπεζίου; Ποιες ιδιότητες έχει;
4. Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = 5x,ΔΓ = 3x και A = 60°. Η περίμετρος του τραπεζίου είναι:

Εικόνα

i) 10x ii) 11x iii) 12x
iv)13x v)14x
Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και η διάμεσός του

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΕΖ. Αν οι μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ, ΒΓ τέμνονται στο Κ και Η, Θ είναι τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ, Η, Θ είναι κορυφές τραπεζίου.
2. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), να αποδείξετε ότι το ΔΕΓΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
3. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ)τέμνονται στο Ο. Αν Ε, Ζ, Η, Θ είναι τα μέσα των ΟΑ,ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ύψος του ΑΕ. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
5. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ < ΓΔ και τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Να αποδείξετε ότι

ΔΕ = ΓΖ = ΓΔ - ΑΒ2.

6.Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ευθεία ε που δεν τέμνει το τρίγωνο και ας είναι ΒΒ' και ΓΓ' οι αποστάσεις των Β και Γ από την ευθεία ε. Αν Μ είναι το μέσο της Β'Γ' και Κ το μέσο της διαμέσου ΑΔ να αποδείξετε ότι ΜΚ = ΑΔ2.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ) η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει τη διάμεσο του ΕΖ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΒΗΓ = 90°.
2. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) Μ είναι το μέσο της ΑΒ. Αν η μεσοκάθετος της ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ζ και η παράλληλη από το Ζ προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Η, να αποδείξετε ότι ΓΗ = ΑΖ.
3.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° και Β = 120°. Αν ΑΒ = 2α και ΒΓ = α να υπολογίσετε τη διάμεσο ΕΖ, ως συνάρτηση του α.
4. Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, η μία από τις μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ είναι ίση με το άθροισμα των βάσεων. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΜΔ = 90°.
5. Από το μέσο Ε της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ που τέμνει τη ΔΓ στο Μ. Να αποδείξετε ότι ΒΜ ⊥ ΔΓ.
6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε

ότι το ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
7. Αν σε τραπέζιο η μία βάση είναι διπλάσια της άλλης, να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι χωρίζουν τη διάμεσο σε τρία ίσα τμήματα.
8.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΓΔ = 3ΑΒ και Κ,Λ τα μέσα των διαγωνίων του ΔΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το ΑΚΛΒ είναι παραλληλόγραμμο. Πότε αυτό είναι ορθογώνιο;

Μικροπείραμα

9. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΓΔ = 32 ΑΒ. Αν Ε, Ζ, Η είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ και ΔΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. Αν η προέκταση της ΑΗ τέμνει τη ΓΔ στο Θ, τότε ΘΔ = ΔΓ - ΑΒ.
10. Αν Α', Β', Γ', Δ', Κ' είναι οι προβολές των κορυφών και του κέντρου Κ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα σε ευθεία ε που αφήνει όλες τις κορυφές του προς το ίδιο μέρος της, να αποδείξετε ότι ΑΑ' + ΒΒ' + ΓΓ' + ΔΔ' = 4ΚΚ'.

Σύνθετα θέματα

1.Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) έχουμε ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Δ τέμνονται στη ΒΓ.

Μικροπείραμα

2.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° και ΒΓ = 2ΓΔ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΜΓ = 3ΜΑΒ.
3. Μια ευθεία ε διέρχεται από την κορυφή Δ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και έχει εκατέρωθεν αυτής τις κορυφές Β και Γ. Αν Α', Β' και Γ' οι προβολές των Α, Β και Γ αντίστοιχα στην ευθεία ε, να αποδείξετε ότι ΑΑ' - ΓΓ' = ΒΒ' (με ΑΑ' > ΓΓ').
4.Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ (Α = 90°) και Δ, Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Από το μέσο Ζ του ΑΔ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΓ που τέμνει τη ΒΓ στο Η. Αν ΖΗ = 38 ΒΓ , να υπολογισθεί η γωνία Β.
5.Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ < ΓΔ, έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Να αποδείξετε ότι
i) αν ΔΜ = ΔΓ και η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέμνει τη ΔΜ στο Ε, τότε ΑΜ = ΒΕ,
ii) αν Ε είναι το μέσο της ΔΜ, τότε ΑΕ = 34 ΒΓ .

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

ΣΧΟΛΙΟ
Για να αποδείξουμε
ότι υπάρχουν κάποια
από τα αξιοσημείωτα
σημεία τριγώνου
(βαρύκεντρο,
ορθόκεντρο κτλ.) καθώς
και τις βασικές τους
ιδιότητες
χρησιμοποιήσαμε
τη θεωρία των
παραλληλογράμμων που
στηρίζεται στο αίτημα
παραλληλίας (§ 4.2).

5.12 Αξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι

τριγώνου

Είδαμε προηγούμενα (§4.5 και §5.7 - §5.8) ότι σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών.
Ανακεφαλαιώνοντας, σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο:
• Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος (Ο,ΟΑ) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
• Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
• Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του ΑΒΓ.
• Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθόκεντρο του ΑΒΓ.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β ≠ γ) με Α = 60°, τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ και τα μέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΝΔ.
2. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε₁ , ε₂ και σημείο Α της ε₁ Φέρουμε ΑΚ ⊥ ε₂. Αν Β σημείο της ε₂ και μια ευθεία, που διέρχεται από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε₁στα Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = 2ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΑΒΚ = 3ΕΒΚ.
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, Δ το μέσο της ΑΒ και σημείο Ε της ημιευθείας ΔΒ, ώστε ΔΕ = ΑΓ2. Από τα Β και Ε φέρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας $\hat{Α}$, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα Β' και Ε' αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:

i) B'Ε' = ΑΓ - AB2.

ii) Η ευθεία ΕΕ' διέρχεται από το μέσο της ΒΓ.
4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ, Β > 60° και το ύψος του ΑΕ προς τη ΒΓ (ΑΕ ⊥ ΒΓ). Αν

Ζ, Η είναι τα μέσα των ΓΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
i) το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος,
ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗΕΓ,
iii) το ΗΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο,
iv) ΔZΕ = 3ΖEΓ.
5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ προς το ίδιο μέρος της. Αν Α', Β', Γ', Κ' οι προβολές των Α,Β,Γ και του βαρυκέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδείξετε ότι ΑΑ' + ΒΒ' + ΓΓ' = 3ΚΚ'.
6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΕ ⊥ ΑΓ. Αν Ζ το μέσο του ΕΓ, να αποδείξετε ότι:
i) ΔΖ//ΒΕ,
ii) AH⊥BE, όπου Η το μέσο του ΔΕ.
7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν Κ και Λ είναι τα κέντρα των ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

8. Δίνεται τετράγωνο πλευράς α και κέντρου Ο. Στη διαγώνιο ΑΓ παίρνουμε σημείο Μ, ώστε ΓΜ = ΑΓ4. Φέρουμε τη ΒΜ που τέμνει τη ΓΔ στο Ε και ΟΗ κάθετη στη ΒΓ, η οποία τέμνει τη ΒΕ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι:

i) OZ = α3 ,

ii) το ΟΖΓΕ είναι παραλληλόγραμμο.

Μικροπείραμα

9. Οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα στο Ο. Αν Κ, Λ τα μέσα των

βάσεων ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
i) τα σημεία Ο, Κ, Λ είναι συνευθειακά,

ii) ΚΛ = ΔΓ - AB2 (με ΔΓ > ΑΒ)

iii) αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΚΕΛΖ είναι ορθογώνιο.
10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ και το μέσο Μ του ΕΔ. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του Μ από τη ΒΓ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις ΑΒ, ΑΓ.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

1. Δύο αδέλφια κληρονόμησαν ένα οικόπεδο σχήματος παραλληλογράμμου, το οποίο έχει την πλευρά ΑΒ παράλληλη προς δημόσιο δρόμο που διέρχεται μπροστά από το οικόπεδο. Πώς θα μοιρασθεί δίκαια το οικόπεδο μεταξύ των δύο αδελφών;

2. Έχουμε 4 ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Τοποθετώντας κατάλληλα το ένα τρίγωνο δίπλα στο άλλο, τι είδους τετράπλευρα κατασκευάζουμε; Να γίνουν τα σχήματα.

3. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα έχουν κέντρο συμμετρίας, ποια έχουν άξονες συμμετρίας και πόσους. Να γίνουν τα σχήματα και να βρεθεί το συμμετρικό των κορυφών τους και των πλευρών τους.
i) παραλληλόγραμμο ii) ορθογώνιο iii) ρόμβος
iv) τετράγωνο ν) τραπέζιο vi) ισοσκελές τραπέζιο

4. Θεωρούμε ευθεία ε και ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Να υπολογίσετε την απόσταση του μέσου Μ του τμήματος, ως συνάρτηση των αποστάσεων των άκρων του Α και Β από την ευθεία ε (Υπόδειξη: Να διακρίνετε περιπτώσεις για τις διάφορες θέσεις των Α και Β ως προς την ευθεία ε).

ΕΡΓΑΣΙΑ

Σε μια πεδιάδα υπάρχει λόφος Λ, τον οποίο πρόκειται να διασχίσει ευθεία σιδηροδρομική γραμμή ΑΒΓΔ. Πώς ο μηχανικός θα χαράξει την προέκταση ΓΔ αυτής πίσω από το λόφο, πριν να γίνει η διάνοιξη της σήραγγας;

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Η έννοια του τετραπλεύρου Η πρώτη υποδιαίρεση των τετραπλεύρων σήμερα είναι σε επίπεδα και στρεβλά, ανάλογα με το αν οι κορυφές τους βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή όχι. Τα επίπεδα τετράπλευρα, με τη σειρά τους, υποδιαιρούνται σε κυρτά και μη κυρτά, ανάλογα με το αν η κάθε πλευρά τους αφήνει το		σχήμα εξ ολοκλήρου στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η πλευρά αυτή ή όχι. Μία ειδική περίπτωση επιπέδου κυρτού τετραπλεύρου είναι το παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές του οποίου είναι παράλληλες. Τέλος, διακρίνουμε τρία είδη παραλληλογράμμων (Διάγραμμα 1):

(α) το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που έχει τέσσερις γωνίες ορθές, (β) ο ρόμβος που έχει τέσσερις πλευρές ίσες, (γ) το τετράγωνο, που έχει τέσσερις γωνίες ορθές και τέσσερις πλευρές ίσες.		Όμως η ταξινόμηση αυτή δε διαμορφώθηκε εξαρχής στην ιστορία της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης π.χ. στα «Στοιχεία» του προτείνει μια άλλη ταξινόμηση (Διάγραμμα 2).
Διάγραμμα 2: Η Ευκλείδεια ταξινόμηση των τετραπλεύρων

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Η ταξινόμηση αυτή δε χρησιμοποιεί ως κριτήριο την έννοια της παραλληλίας, η οποία στα «Στοιχεία» εισάγεται αργότερα. Επίσης δε φαίνεται να στηρίζεται σε κάποια ενιαία αρχή. Στις τρεις πρώτες περιπτώσεις φαίνεται ότι λαμβάνει ως βάση τα κατηγορήματα «έχει ίσες πλευρές» και «έχει ορθές γωνίες» και τις αρνήσεις τους: ορθογώνιο και ισόπλευρο είναι το τετράγωνο, ορθογώνιο και όχι ισόπλευρο το ετερομήκες (δηλαδή το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο), ισόπλευρο και όχι ορθογώνιο ο ρόμβος. Όμως, η έννοια του ρομβοειδούς (δηλαδή του πλάγιου παραλληλογράμμου) στηρίζεται στην έννοια της ισότητας των απέναντι πλευρών και των γωνιών και όχι στην παραλληλία των απέναντι πλευρών. Τραπέζιο ονομάζει όχι ό,τι σήμερα εννοούμε με τον όρο αυτό, δηλαδή τετράπλευρο με δύο μόνο πλευρές παράλληλες, αλλά οποιοδήποτε τετράπλευρο. Ο όρος τραπέζιο, με τη σύγχρονη έννοια, απαντάται αργότερα στον Αρχιμήδη.

Η ταξινόμηση όμως αυτή αποδεικνύεται μη λειτουργική και μάλλον άβολη. Ο ίδιος ο Ευκλείδης μάλιστα δε χρησιμοποιεί ποτέ στα «Στοιχεία» του τις έννοιες του ετερομήκους, του ρόμβου και του ρομβοειδούς. Παρόλα αυτά, η ταξινόμηση αυτή απαντάται και σε μεταγενέστερους μαθηματικούς, ακόμα και του Αραβικού κόσμου, όπως π.χ. στη διαπραγμάτευση της Γεωμετρίας του αλ-Χουαρίζμι. Όμως υπήρχαν και μαθηματικοί που προσπάθησαν να τροποποιήσουν την ταξινόμηση του Ευκλείδη. Ο Πρόκλος αποδίδει στον Ποσειδώνιο μια πιο ολοκληρωμένη ταξινόμηση, η οποία απαντάται επίσης στον Ήρωνα (Διάγραμμα 3).
Μια άλλη προσπάθεια διόρθωσης της Ευκλείδειας ταξινόμησης απαντάται το 16ο αι. στη «Γεωμετρία» (1569) του Πέτρου Ράμου (Petrus Ramus ή Pierre de la Ramee) (Διάγραμμα 4). Η ταξινόμηση του Ράμου φαίνεται να στηρίζεται στη διχοτομική διαίρεση του πλάτους των εννοιών.

Εικόνα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Τ Ε Τ Ρ Α Π Λ Ε Υ Ρ Α

Εικόνα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

Εφαρμογές των παραλληλογράμμων

Εικόνα