Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
ΣΧΟΛΙΟ
Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί
τα εξής στάδια: Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη
χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται.
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο
σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου.
Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προτάσεις.
i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι .................................
ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι .....................................
Μικροπείραμα  |
1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν σταθερή την πλευρά ΒΓ=α και τη διάμεσο ΑΜ με γνωστό μήκος.
2. Δίνεται κύκλος (Ο,R). Αν Ν τυχαίο σημείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέκταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν διαγράφει τον κύκλο.
Μικροπείραμα |
Σχήμα 37
Σχήμα 38
Σχήμα 39
|
Συμμετρικά σχήματα
3.8 Κεντρική συμμετρία
Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α,Α' λέγονται συμμετρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37).
Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σ'. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Α', ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία.
Aν στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό.
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα:
• Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.40α).
• Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.40β).
• Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ).
Μικροπείραμα |
Σχήμα 40
|
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φορέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό.
Απόδειξη
Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΒ και Α', Β' τα συμμετρικά των Α,Β ως προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑ' = ΟΑ, OB' = OB και Α'ÔΒ' =ΑÔΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και Α'ΟΒ' είναι ίσα, οπότε Α'Β' = ΑΒ. |
|
Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και Α'Β' είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μ' η τομή της ΜΟ με το Α'Β'. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι Â = Âʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και Α'ΟΜ' είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑ' = ΟΑ, Â = Âʹ και Ô1 = Ô2. Επομένως ΟΜ' = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μ' είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μ' του Α'Β' είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, Α'Β' είναι συμμετρικά ως προς το Ο.
3.9 Αξονική συμμετρία
Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Α' λέγονται συμμετρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42).
Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σ' (σχ.43) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντίστροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σ'. Δηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Α', ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει |
Σχήμα 42
Σχήμα 43
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Σχήμα 44
|
το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, ώστε, αν διπλώσουμε το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε, τα μέρη αυτά θα ταυτιστούν.
Από τα γνωστά μας σχήματα
• Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άξονες συμμετρίας τη μεσοκάθετό του μ και τον φορέα του ε (σχ.45α).
• Η ευθεία x'x έχει άξονα συμμετρίας κάθε ευθεία
ε ⊥ x'x και την ίδια τη x'x (σχ.45β).
• Ο κύκλος έχει άξονα συμμετρίας το φορέα δ κάθε διαμέτρου του ΑΒ (σχ.45γ).
• Το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έχει άξονα συμμετρίας το φορέα μ του ύψους ΑΔ (σχ.45δ).
• Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας τους φορείς των τριών υψών του (σχ.45ε).
Μικροπείραμα
|
Σχήμα 45 |
|
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Έστω μια ευθεία ε και ένα τμήμα ΑΒ του οποίου το ένα άκρο Α είναι σημείο της ε. Να αποδειχθεί ότι το συμμετρικό του ΑΒ ως προς την ε είναι το τμήμα ΑΒ' ίσο με το ΑΒ, όπου Β' το συμμετρικό του Β ως προς την ε.
Απόδειξη
Το συμμετρικό του Α ως προς την ε είναι το ίδιο το Α, αφού το Α είναι σημείο της ε. Επειδή η ε είναι μεσοκάθετος του ΒΒ', είναι ΑΒ' = ΑΒ. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΒ' η ΑΔ είναι ύψος και διάμεσος, άρα είναι και διχοτόμος, δηλαδή Α1 = Α2. |
|
Έστω σημείο Μ του ΑΒ. Φέρουμε ΜΚ ⊥ ε η οποία όταν προεκταθεί τέμνει το ΑΒ' στο Μ'. Στο τρίγωνο ΑΜΜ' η ΑΚ είναι ύψος και διχοτόμος (αφού Α1 = Α2), άρα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΜ' = ΚΜ, οπότε το Μ' είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια αποδεικνύεται ότι το συμμετρικό κάθε σημείου του ΑΒ' είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑΒ' είναι συμμετρικά ως προς την ε.
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ.
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν Α', Β', Γ' είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, Α'Β'Γ' είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα.
3. Αν x'Α 'y' είναι η συμμετρική της γωνίας xΑy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα σημείο Ο, εξωτερικό της xΑy, τότε να αποδειχθεί ότι x'Α'y' = xΑy. |
4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τριγώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ.
Μικροπείραμα
5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της.
6. Έστω ε, ε' δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μ' είναι το συμμετρικό του Μ ωςπρος ε και Μ" το συμμετρικό του Μ' ως προς ε', τότε να αποδείξετε ότι:
i) ΟΜ = ΟΜ",
ii) τα σημεία Μ, Ο, Μ" είναι συνευθειακά.
Μικροπείραμα - Επέκταση |
Ανισοτικές σχέσεις
Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τριγωνική ανισότητα
3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας
ΘΕΩΡΗΜΑ
Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας ΓAx έχουμε ΓAΕ < ΓAx = Aεξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και Δ1 = Δ2, οπότε Γ = ΓΑΕ. Από την τελευταία ισότητα και την
ΓAΕ < Aεξ προκύπτει ότι Aεξ >Γ. Όμοια αποδεικνύεται ότι και Aεξ> B.
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ
i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία.
ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 180°.
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Σχήμα 48
ΣΧΟΛΙΟ
Το διπλανό πόρισμα (ii)
είναι το αντίστροφο του
πορίσματος I της § 3.2.
Τα δύο αυτά πορίσματα
συνοψίζονται στο εξής:
ένα τρίγωνο είναι
ισοσκελές αν και μόνο
αν έχει δύο γωνίες ίσες.
|
3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών
ΘΕΩΡΗΜΑ
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ=ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως B1 = Δ1 = ω. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B, είναι B > B1ενώ η Δ1 ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη Γ, δηλαδή Δ1> Γ. Έτσι έχουμε B > ω και ω > Γ, επομένως B > Γ. Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B > Γ. Τότε θα είναι και β>γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β< γ θα είχαμε B = Γ ή
B < Γ αντίστοιχα, που είναι άτοπο.
Μικροπείραμα
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ
i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου.
ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές.
iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο.
3.12 Τριγωνική ανισότητα
Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.
|
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). Γι' αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α, κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓΔ, οπότε έχουμε αντίστοιχα Δ = Γ1 και Γ1< ΒΓΔ. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι Δ < ΒΓΔ, από την οποία σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι ΒΓ < ΒΔ ή
α < β + γ.
Όμοια προκύπτει ότι β < γ + α και γ < α + β. Από τις ανισότητες αυτές, αντίστοιχα προκύπτει ότι α > β - γ,
αν β ≥ γ ή α > γ - β, αν γ ≥ β, δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο. Επομένως:
ΠΟΡΙΣΜΑ
Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.
|
Σχήμα 49
ΣΧΟΛΙΟ
Γενικότερα ισχύει:
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι
μικρότερο από κάθε
τεθλασμένη γραμμή που έχει άκρα
τα Α και Β.
|
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η
Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι:
i) ΒΜΓ > Α
ii) ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ +ΑΓ. |
|
Απόδειξη
(i) Έστω Δ (σχ.50) το σημείο τομής της προέκτασης του ΒΜ με την ΑΓ. Η γωνία ΒΜΓ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΜΔΓ και επομένως ΒΜΓ > Δ1. Αλλά η Δ1 είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΒΔ, οπότε θα είναι Δ1 > Α. Άρα θα είναι και ΒΜΓ > Α.
(ii) Με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΜΓΔ προκύπτουν αντίστοιχα οι ανισότητες
ΜΒ + ΜΔ < ΑΒ + ΑΔ και ΜΓ < ΜΔ + ΔΓ.
Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε:
ΜΒ + ΜΔ + ΜΓ < ΑΒ + (ΑΔ + ΔΓ) + ΜΔ ή ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύουν δύο από τις επόμενες προτάσεις:
(i) το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος,
(ii) το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος,
(iii) το τμήμα ΑΔ είναι ύψος,
τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ.
Έστω ΑΔ διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ (σχ.51). Προεκτείνουμε το ΑΔ κατά ίσο τμήμα ΔΕ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΓΕ είναι ίσα (ΒΔ = ΔΓ,ΑΔ = ΔΕ, Δ1= Δ2 ως κατακορυφήν). Άρα ΑΒ = ΓΕ (1) και Α1 = Ε. Από την Α1 = Ε προκύπτει ΑΓ = ΓΕ (2), αφού ΑΔ διχοτόμος, οπότε Α1 = Α2= Ε. Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΑΒ=ΑΓ. Αν ΑΔ είναι ύψος και διάμεσος ή ύψος και διχοτόμος τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΑΓ. |
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3η
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια άνισες και αντίστροφα.
Απόδειξη
Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με ΑΒ = Α'Β', ΑΓ = Α'Γ' και Α > Α' (σχ.55). Θα αποδείξουμε ότι BΓ > Β'Γ'. Αφού Α > Α', υπάρχει εσωτερική ημιευθεία Ax της Α τέτοια, ώστε ΒΑx = Α'. Πάνω στην Αx θεωρούμε σημείο Δ, ώστε ΑΔ = Α'Γ'. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Γ' είναι ίσα (ΠΓΠ). Άρα, ΒΔ = Β'Γ'. Φέρουμε κατόπιν τη διχοτόμο ΑΕ της γωνίας ΔΑΓ, οπότε σχηματίζονται δύο ίσα τρίγωνα τα ΑΔΕ και ΑΓΕ, άρα ΕΔ = ΕΓ. Στο τρίγωνο ΒΔΕ, έχουμε από την τριγωνική ανισότητα ότι |
|
ΒΔ < ΒΕ + ΕΔ ή ΒΔ < ΒΕ + ΕΓ ή Β'Γ' < ΒΓ.
Αντίστροφα. Ας θεωρήσουμε ότι στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι ΑΒ = Α'Γ', ΑΓ = Α'Γ' και ΒΓ > Β'Γ'. Αν ήταν Α =Α', τότε θα είχαμε ότι ΒΓ = Β'Γ', ενώ αν ήταν Α< Α', θα είχαμε ότι Β'Γ' < ΒΓ, που είναι άτοπο. Επομένως, Α > Α'.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4η
Δίνεται μια ευθεία ε, δύο σημεία Α,Β προς το ίδιο μέρος της και το συμμετρικό Α' του Α ως προς την ε (Σχ.53α).
(i) Για οποιοδήποτε σημείο Μ της ε, να αποδειχθεί ότι
ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ' + ΜΒ ≥ Α'Β. Πότε το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ παίρνει τη μικρότερή του τιμή;
(ii) Στα σημεία Α, Β, Γ (σχ.53β) βρίσκονται τρεις κωμοπόλεις. Κοντά σε αυτές διέρχεται σιδηροδρομική γραμμή, πάνω στην οποία πρόκειται να κατασκευασθεί σταθμός Σ. Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευασθεί ο σταθμός, ώστε ο δρόμος ΑΣΓΒ να είναι ο ελάχιστος δυνατός;
(i) Επειδή το Α' είναι συμμετρικό του Α ως προς την ε, η ε είναι μεσοκάθετος του ΑΑ', οπότε ΜΑ = ΜΑ' και επομένως ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ' + ΜΒ (1). |
|
Αν το Μ δεν είναι σημείο του τμήματος Α'Β από το τρίγωνο ΜΑ'Β, έχουμε ΜΑ' + ΜΒ > Α'Β (2), ενώ αν το Μ είναι σημείο του Α'Β' έχουμε ΜΑ' + ΜΒ = Α'Β (3). Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΜΑ + ΜΒ= ΜΑ' + ΜΒ ≥ Α'Β και ότι το ΜΑ + ΜΒ παίρνει τη μικρότερή του τιμή Α'Β, όταν Μ = Μ 0, όπου Μ 0 το σημείο τομής της ε με το Α'Β.
(ii) Όμοια με το (i).
Μικροπείραμα
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
1. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις:
i) Η εξωτερική γωνία Αεξ τριγώνου ΑΒΓ
είναι μεγαλύτερη από τη Γ. □ Σ □ Λ
ii) Η εξωτερική γωνία Βεξ τριγώνου ΑΒΓ
είναι μικρότερη από τη Γ. □ Σ □ Λ
iii) Το άθροισμα δύο γωνιών ενός
τριγώνου είναι 180°. □ Σ □ Λ
iv) Αν β > γ (σε τρίγωνο ΑΒΓ),
τότε Β = Γ και αντίστροφα. □ Σ □ Λ
ν) Αν β = γ (σε τρίγωνο ΑΒΓ),
τότε Β = Γ και αντίστροφα. □ Σ □ Λ
2. Για το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος ισχύει:
α. α = 7 β. α=1 γ. 1<α<7 δ. α>7 ε. 0<α<1
Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
3. Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α = γ3 και β = 3γ5 ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
1. Στο παρακάτω σχήμα είναι Β1> Γ1 . Να αποδείξετε ότι
Β1> 90°.
|
2. Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν ΑΒ = ΒΓ και Α= Γ, να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΓΔ. Τι συμπεραίνετε για τη ΒΔ;
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = Γ. i) Τι είδους γωνία είναι η Β; ii) Να αποδείξετε ότι το ύψος από την κορυφή Α τέμνει την ευθεία ΒΓ, σε εσωτερικό σημείο της πλευράς ΒΓ.
4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ημιευθείας Βχ που περιέχει το Α. Να αποδείξετε ότι η γωνία ΒΔ Γ είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη της γωνίας ΒΑΓ, αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ των Β και Α, ταυτίζεται με το Α ή βρίσκεται μετά το Α, αντίστοιχα.
5. Αν Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΜ < ΑΒ.
6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°), η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ < ΔΒ.
7. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Οι ΒΟ και ΓΟ τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι ΒΟ = ΓΟ και ΟΛ = ΟΜ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
Μικροπείραμα
8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι αν οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ, τότε το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές.
9. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και I το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β, Γ. Να αποδείξετε ότι:
i) το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές,
ii) η ΑΙ είναι διχοτόμος της Α.
10. Οι κωμοπόλεις Κ1, Κ2, Κ3 απέχουν από τη πόλη Π (παρακάτω σχήμα), αποστάσεις 7, 6 και 10 km αντίστοιχα. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την κωμόπολη Κ1 και ακολουθώντας τη διαδρομή Κ1Κ2Κ3Κ1 επιστρέφει στην Κ1. Ο χιλιομετρητής του γράφει ότι για αυτή τη διαδρομή διήνυσε απόσταση 48 km. Είναι αυτό δυνατόν; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. |
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μα < α2, να αποδείξετε ότι A > Β + Γ. Τι ισχύει όταν μα = α2 ή μα > α2;
2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΑΜΓ > ΑΜΒ.
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η διάμεσος ΑΜ. Να αποδείξετε ότι:
i) ΜΑΒ > ΜΑΓ,
ii) β - γ2 < μα < β + γ2;
iii) μα+ μβ+ μγ < 2τ.
4. Έστω κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΑΒ και σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου να αποδειχθεί ότι ΣΑ ≤ ΣΜ ≤ ΣΒ. (Το τμήμα ΣΑ λέγεται απόσταση του Σ από τον κύκλο).
5. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόμος δα τέμνει κάθετα τη διάμεσο μβ, να αποδείξετε ότι:
i) ΑΓ = 2ΑΒ,
ii) ΑΒ < ΒΓ. |
6. Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο τόξα ΑΒ, ΓΔ. Αν
ΑΒ=2ΓΔ να αποδείξετε ότι ΑΒ < 2ΓΔ.
7. Να αποδείξετε ότι σε δύο άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν χορδές όμοια άνισες και αντίστροφα.
1. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ο εσωτερικό σημείο του.
i) Να αποδείξετε ότι
OA + OB + OΓ + ΟΔ > AB + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ2 .
ii) Για ποια θέση του Ο το άθροισμα
ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ γίνεται ελάχιστο;
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς το μέρος του Α κατά τμήματα ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ αντίστοιχα. Η ευθεία ΔΕ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι:
i) το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές,
ii) η διχοτόμος της ΒΜΕ διέρχεται από το σημείο Α.
3. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι:
i) κάθε διαγώνιος είναι μικρότερη της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου,
ii) ΑΓ+ΒΔ>ΑΒ+ΓΔ και ΑΓ+ΒΔ>ΑΔ +ΒΓ,
iii) το άθροισμα των διαγωνίων είναι μεγαλύτερο της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου και μικρότερο της περιμέτρου του τετραπλεύρου.
4. Στο εσωτερικό ορθής γωνίας xÔy θεωρούμε σημείο Γ και στις πλευρές της Οχ, Oy τα σημεία Α, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από 2ΟΓ. |
Σχήμα 54
|
3.13 Κάθετες και πλάγιες
Έστω μια ευθεία ε (σχ.54) και ένα σημείο Α εκτός αυτής. Από το Α φέρουμε προς την ε την κάθετο δ και μια πλάγια ζ. Οι ευθείες δ και ζ τέμνουν την ε στα Κ και Β αντίστοιχα. Το Κ, όπως είναι γνωστό, λέγεται προβολή του Α πάνω στην ε ή ίχνος της καθέτου δ πάνω στην ε. Το Β λέγεται ίχνος της ευθείας ζ ή του τμήματος ΑΒ πάνω στην ε.
|
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
ΘΕΩΡΗΜΑ I
Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κάθετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = ΚΓ.
Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή ΑΒ = ΑΓ.
ΘΕΩΡΗΜΑ II
Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε:
(i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο.
(ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
(i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία Κ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ.
(ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ, όπου Β,Γ σημεία της ε (σχ.57).
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ.
Ας υποθέσουμε ότι ΚΓ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ, Γ, η ΑBΓ είναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως
ΑBΓ > Κ = 1∟,δηλαδή η ΑΒΓ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΓ βρίσκεται απέναντι από την ΑΒΓ, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ>ΑΒ.
Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν ΚΓ = ΚΒ, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν
ΚΓ < ΚΒ, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι ΑΓ < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως ΚΓ > ΚΒ. |
Σχήμα 55
ΣΧΟΛΙΟ
Την ιδιότητα (i) του Θεωρήματος
II, που έχει το κάθετο τμήμα συνήθως
εκφράζουμε και ως: η απόσταση
ενός σημείου Α από μία ευθεία
ε είναι μικρότερη από την απόσταση
του Α από τυχόν σημείο της ευθείας.
Σχήμα 56
Σχήμα 57
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
Αν ΑΒ, ΑΓ πλάγια τμήματα ως προς μια ευθεία ε και ΑΚ το κάθετο τμήμα, τότε:
1. Συμπληρώστε τις παρακάτω ισοδυναμίες
i) ΑΒ=ΑΓ <=> ...................................................
ii) ΑΒ>ΑΓ <=> ...................................................
2. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Α) καθεμία από τις παρακάτω σχέσεις και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
i) ΑΒ>ΑΚ □ Σ □ Λ
ii) ΑΒ=ΑΚ □ Σ □ Λ
iii) ΑΒ<ΑΚ □ Σ □ Λ
1. Στις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
i) ΔΕ < ΕΒ,
ii) ΔΕ < ΒΓ
|
2. Στο παρακάτω σχήμα το ΑΗ είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. Να συγκρίνετε τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ και ΑΔ.
3. Δίνεται τμήμα ΑΒ, σημείο Ρ της μεσοκαθέτου του και μία ευθεία ε που διέρχεται από το Α.
i) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ρ από την ευθεία ε και το σημείο Β.
ii) Ποια πρέπει να είναι η θέση της ευθείας ε, ώστε οι αποστάσεις αυτές να είναι ίσες;
Μικροπείραμα |
Σχήμα 58
|
Ευθεία και κύκλος
3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου
Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο,R) μια ευθεία x'x και την απόσταση δ = ΟΑ του κέντρου Ο από την x'x (σχ.58). Μεταξύ των δ και R ισχύει μία από τις σχέσεις: δ > R,
δ = R και δ < R. Θα εξετάσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία καθεμίας από τις σχέσεις αυτές.
• Έστω δ > R (σχ.58α). Τότε το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, οπότε και κάθε άλλο σημείο Μ της ευθείας είναι εξωτερικό, αφού OM > OA > R. Επομένως, η x'x δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου.
• Έστω δ = R (σχ.58β). Τότε το Α είναι κοινό σημείο της ευθείας με τον κύκλο, ενώ κάθε άλλο σημείο Μ της x'x είναι εξωτερικό σημείο του (Ο,R), αφού ΟΜ > ΟΑ= R. Επομένως, η x'x έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία x'x εφάπτεται του κύκλου(Ο,R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι:
|
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.
Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική.
• Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα σημείο Μ, ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοινό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αx' έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Β'.
Επομένως, η x'x έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην
περίπτωση αυτή η ευθεία x'x, λέγεται τέμνουσα του κύκλου
και τα κοινά της σημεία με το κύκλο λέγονται σημεία τομής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο.
Μικροπείραμα Μικροπείραμα
Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε:
• Αν δ>R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.
• Αν δ=R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο.
• Αν δ<R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.
Μικροπείραμα
Με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα.
ΘΕΩΡΗΜΑ I
Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο,ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, τα Α, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ= ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ,ζ των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε τις ξ, ζ, που είναι άτοπο. |
Σχήμα 59
ΣΧΟΛΙΟ
Από το προηγούμενο θεώρημα
προκύπτει ότι τρία οποιαδήποτε
σημεία ενός κύκλου δεν είναι
συνευθειακά. Στην § 4.5 θα δούμε
ότι από τρία μη συνευθειακά
σημεία διέρχεται ένας κύκλος, που
είναι και μοναδικός.
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Σχήμα 60
|
3.15 Εφαπτόμενα τμήματα
Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. Στην§ 6.7 θα δούμε ότι από το Ρ φέρονται δύο εφαπτόμενες του κύκλου. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο(σχ.60), τότε τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ και η ευθεία ΡΟ διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ. Ισχύει το εξής θεώρημα:
ΘΕΩΡΗΜΑ II
Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Τα τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ (σχ.60) έχουν A = Β = 90°, ΟΡ κοινή και ΟΑ = ΟΒ (= ρ), άρα είναι ίσα, οπότε ΡΑ = ΡΒ.
Μικροπείραμα
ΠΟΡΙΣΜΑ
Αν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική ευθεία του:
i) είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρατα σημεία επαφής,
ii) διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής.
|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
1. Πότε μια ευθεία έχει δύο, ένα ή κανένα κοινό σημείο με έναν κύκλο;
2. Είναι δυνατόν στο παρακάτω σχήμα να είναι ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
3. Στο παρακάτω σχήμα τα ΡΑ, ΡΒ είναι εφαπτόμενα τμήματα, η ΡΚ διχοτόμος της ΑΡΒ, τα Λ, Ν μέσα των τόξων ΑΛΒ, ΑΝΒ. αντίστοιχα και το Μ μέσο της χορδής ΑΒ. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Α) |
καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:
i) ΡΑ = ΡΒ. □ Σ □ Λ
ii) Η ΡΚ διέρχεται από το Ο. □ Σ □ Λ
iii) Η ΟΜ διέρχεται από τα Ρ, Λ, Ν. □ Σ □ Λ
iv) Η προέκταση του ΛΜ διχοτομεί τις γωνίες ΑΡΒ, ΑΟΒ και το τόξο ΑΝΒ. □ Σ □ Λ |
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
|
1. Αν έχουμε δύο ομόκεντρους κύκλους, να εξηγήσετε γιατί όλες οι χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται στο μικρό κύκλο είναι ίσες.
2. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ), μία διάμετρός του ΑΒ και οι εφαπτόμενες ε1 , ε2 του κύκλου στα Α,Β. Αν μια τρίτη εφαπτομένη ε τέμνει τις ε1 , ε2 στα Γ, Δ, να αποδείξετε ότι ΓÔΔ = 90°.
3. Από εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Μία τρίτη εφαπτομένη στο σημείο Ε του κύκλου τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Γ,Δ αντίστοιχα. Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΡΓΔ ως συνάρτηση των τμημάτων ΡΑ και ΓΔ. |
1. Να αποδείξετε ότι δύο σημεία μίας εφαπτομένης κύκλου, τα οποία ισαπέχουν από το σημείο επαφής, απέχουν ίση απόσταση από τον κύκλο.
2. Από σημείο Μ εξωτερικό του κύκλου (Ο,R) φέρουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ, ΜΒ του κύκλου. Προεκτείνουμε το ΟΒ κατά ίσο τμήμα ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η γωνία
ΑMΓ είναι τριπλάσια της ΒMΓ.
3. Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ να αποδείξετε ότι ΜΑΡ= ΜΒΡ |
3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων
Θεωρούμε δύο κύκλους (Κ, R) και (Λ, ρ) με R > ρ. Οι σχετικές τους θέσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα (σχ.61α).
Σχήμα 61a
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων και συμβολίζεται με δ (σχ. 61β). Οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων εξαρτώνται από τη σχέση της διακέντρου με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
• Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία
(i) Ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν |
Σχήμα 61β
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Σχήμα 62
Σχήμα 63
Σχήμα 64
Σχήμα 65 |
και μόνο αν δ < R - ρ (σχ.62α).
(ii) Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρίσκεται ο ένας στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ > R + ρ (σχ.62ε).
• Εφαπτόμενοι κύκλοι
(i) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν και μόνο αν δ = R - ρ (σχ.62β). (ii) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ = R + ρ (σχ.62δ). Το κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων λέγεται σημείο επαφής και είναι σημείο της διακέντρου. Πράγματι, αν το σημείο επαφής Α (σχ.63) δεν είναι σημείο της διακέντρου, τότε από το τρίγωνο ΑΚΛ έχουμε ΚΛ < ΚΑ + ΑΛ, δηλαδή
δ < R + ρ, που είναι άτοπο.
• Τεμνόμενοι κύκλοι
Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R - ρ < δ < R + ρ (σχ.62γ). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. Ισχύει το επόμενο θεώρημα
Μικροπείραμα
ΘΕΩΡΗΜΑ
Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω οι κύκλοι (KR) και (Λ,ρ) του σχ.64 και Α, Β τα σημεία τομής τους. Επειδή ΚΑ = ΚΒ = R, το σημείο Κ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Όμοια από την ΛΑ = ΛΒ = ρ προκύπτει ότι και το Λ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Άρα, η ΚΛ είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής ΑΒ του κύκλου.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Στην περίπτωση που οι τεμνόμενοι κύκλοι (Κ, R) και (Α, ρ)
(σχ.65) είναι ίσοι, δηλαδή έχουν R = ρ, τότε και η κοινή χορδή
είναι μεσοκάθετος της διακέντρου. Πράγματι, επειδή R = ρ,
θα είναι ΑΚ = ΑΛ και ΒΚ = ΒΛ. Άρα τα Α και Β είναι
σημεία της μεσοκαθέτου του ΚΛ και επομένως η κοινή χορδή
ΑΒ είναι μεσοκάθετος της διακέντρου ΚΛ.
|
Μικροπείραμα Μικροπείραμα
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Α (σχ.66). Μία ευθεία ε εφάπτεται και στους δύο κύκλους στα Β, Γ αντίστοιχα, όπως στο σχ.66. Να αποδειχθεί ότι:
(i) Η εφαπτομένη ζ του ενός κύκλου στο Α είναι και εφαπτομένη του άλλου.
(ii) Η ευθεία ζ διχοτομεί το τμήμα ΒΓ.
Απόδειξη |
|
(i) Έστω ότι η ζ εφάπτεται στον κύκλο (Κ) στο Α. Τότε ζ ⊥ ΚΑ(1).
Επειδή όμως οι κύκλοι εφάπτονται, το Α είναι σημείο της διακέντρου ΚΛ, οπότε από την (1) προκύπτει ότι ζ ⊥ ΑΛ, επομένως η ευθεία ζ είναι και εφαπτομένη του κύκλου (Λ).
(ii) Έστω Μ το σημείο τομής της ζ με την ε. Τότε ΜΑ = ΜΒ, ως εφαπτόμενα τμήματα του (Κ) και ΜΑ = ΜΓ, ως εφαπτόμενα τμήματα του (Λ). Από τις ισότητες αυτές προκύπτει ότι ΜΒ = ΜΓ.
ΣΧΟΛΙΟ
Η ευθεία ε του παραπάνω σχήματος, που εφάπτεται και στους δύο κύκλους και τους αφήνει προς το
ίδιο μέρος της λέγεται κοινή εξωτερική εφαπτομένη, ενώ η ευθεία ζ που έχει τους κύκλους στους
οποίους εφάπτεται εκατέρωθεν αυτής λέγεται κοινή εσωτερική εφαπτομένη.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
1. Αν (Κ, R) και (Λ, ρ) είναι δύο κύκλοι που έχουν διαφορετικά κέντρα και R > ρ, ΚΛ = δ, να αντιστοιχίσετε κάθε φράση της πρώτης στήλης με την αντίστοιχη σχέση στη δεύτερη στήλη.
Στήλη Α |
Στήλη Β |
α. Ο κύκλος (Λ,ρ) είναι εσωτερικός του (Κ,R).
β. Ο κύκλος (Λ,ρ) εφάπτεται εσωτερικά του (Κ,R).
γ. Οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) τέμνονται.
δ. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.
ε. Κάθε κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου. |
1. δ > R+ρ
2. δ = R+ρ
3. δ = R-ρ
4. δ < R-ρ
5. 2δ= R-ρ
6. ρ < δ < R
7. 2δ=Rρ
8. R-ρ < R+ρ |
|
2. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
i) Η διάκεντρος δύο κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής. □ Σ □ Λ
ii) Η κοινή χορδή δύο ίσων τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέντρου □ Σ □ Λ
iii) Το σημείο επαφής δύο εφαπτόμενων κύκλων είναι σημείο της διακέντρου. □ Σ □ Λ
1.Να προσδιορισθούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (K, ρ) και (Λ, 2ρ) αν
i) ΚΛ = ρ / 2,
ii) ΚΛ = ρ,
iii) ΚΛ = 2ρ,
iv) ΚΛ = 3ρ,
ν) ΚΛ = 4ρ.
2. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και μια ακτίνα του ΟΑ. Γράφουμε κύκλο με διάμετρο ΟΑ. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων; |
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
3. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Ο. Γράφουμε τον κύκλο (Α, ΑΟ) και τον κύκλο με διάμετρο ΟΒ. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων;
1. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και εξωτερικό σημείο του Ρ, ώστε ΟΡ < 2R. Γράφουμε τον κύκλο (Ο, 2R). Να αποδείξετε ότι:
i) ο κύκλος (O,2R) τέμνει τον κύκλο (Ρ, ΡΟ) σε δύο σημεία Γ και Δ,
ii) τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΓ και ΟΔ τέμνουν τον κύκλο (Ο, R) στα σημεία Α και Β,
iii) τα ΡΑ και ΡΒ εφάπτονται στον (Ο, R).
2. Δίνονται δύο κύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) μεΟ1Ο2 > R1+R2 >2R2. |
i) Nα αποδείξετε ότι ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου.
ii) Εστω ότι η διάκεντρος τέμνει τον (Ο1) στα σημεία Μ, Μ' και τον (Ο2) στα σημεία Ν, Ν' αντίστοιχα με τα Μ, Ν μεταξύ των Μ', Ν'. Να αποδείξετε ότι ΜΝ ≤ ΑΒ ≤ Μ'Ν', όπου Α, Β τυχαία σημεία των κύκλων (Ο1) και (Ο2) αντίστοιχα.
3.Ένας κύκλος κέντρου Κ είναι εξωτερικός ενός άλλου κύκλου κέντρου Λ. Μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη και μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι ΚΡΛ = 90°.
4.Μπορείτε να ζωγραφίσετε 12 κύκλους, ώστε ο καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε 5 ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους; |
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Οι γεωμετρικές κατασκευές
Τα πρώτα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών απαντώνται στα «Στοιχεία.» του Ευκλείδη.
Οι μαθηματικές προτάσεις διαιρούνται σε «θεωρήματα», όπου ζητείται να αποδειχθεί ότι ένα αντικείμενο
έχει μια ορισμένη ιδιότητα και σε «προβλήματα», όπου ζητείται να κατασκευασθεί κάποιο αντικείμενο
που να έχει ορισμένη ιδιότητα. Στα «Στοιχεία» οι κατασκευές στηρίζονται στα τρία πρώτα αιτήματα
του Βιβλίου I (βλ. Τα μη επιλύσιμα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας). Ως τα τέλη του 4ου αι.
πρέπει να είχε εδραιωθεί η πεποίθηση ότι ορισμένα προβλήματα, όπως π.χ. το πρόβλημα του
διπλασιασμού του κύβου δεν είναι επιλύσιμο με τα επιτρεπτά τότε κατασκευαστικά εργαλεία. Έτσι
εμφανίζεται η πρώτη ιεράρχηση των προβλημάτων με βάση τα επιτρεπτά κατασκευαστικά εργαλεία
επιλυσιμότητάς τους. Ως επίπεδα προβλήματα θεωρούνται αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν με
κανόνα και διαβήτη, στερεά προβλήματα είναι εκείνα που λύνονται με τη βοήθεια κωνικών τομών,
και γραμμικά προβλήματα είναι όλα τα υπόλοιπα. Ο Πάππος μάλιστα θεωρούσε σοβαρό λάθος τη
λύση ενός επίπεδου προβλήματος με τη βοήθεια κωνικών τομών.
|
ΣΧΟΛΙΟ
Όταν η κατασκευή του
ζητούμενου σχήματος
δεν είναι άμεσα φανερή,
τότε, πριν από την
κατασκευή κάνουμε,
ως βοηθητικό βήμα,
και τη λεγόμενη
ανάλυση. Σε
προβλήματα επόμενων
κεφαλαίων θα
χρησιμοποιήσουμε και
την ανάλυση.
|
Γεωμετρικές κατασκευές
Στην § 2.7 αναφέραμε την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής. Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος κατασκευής ακολουθεί τα εξής στάδια: την κατασκευή (ή σύνθεση), την απόδειξη και τη διερεύνηση.
• Η κατασκευή είναι όλες εκείνες οι ενέργειες που οδηγούν στη σχεδίαση του σχήματος.
• Η απόδειξη είναι η επιβεβαίωση ότι το σχήμα που κατασκευάστηκε έχει ως στοιχεία τα δοσμένα.
• Η διερεύνηση είναι η αναγραφή όλων εκείνων των συνθηκών, που πρέπει να ικανοποιούν τα δεδομένα, ώστε το πρόβλημα να έχει λύση. Στη διερεύνηση εξετάζεται επίσης και το πλήθος των λύσεων του προβλήματος.
|
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
3.17 Απλές γεωμετρικές κατασκευές
Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουμε ορισμένες γεωμετρικές κατασκευές με τις οποίες
κατοχυρώνουμε κατασκευαστικά στοιχειώδη γεωμετρικά αντικείμενα και διαδικασίες.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Δίνεται γωνία xÔy και η ημιευθεία Ο'x'. Να κατασκευασθεί γωνία ίση με τη xÔy η οποία έχει ως μια πλευρά, την Ο'x' και κορυφή το Ο'.
Καθιστούμε τη γωνία xÔy (σχ.67) επίκεντρη γράφοντας κύκλο με κέντρο Ο και τυχαία ακτίνα ρ. Έστω ΑΒ το αντίστοιχο τόξο της. Με κέντρο Ο' και ακτίνα την ίδια, γράφουμε άλλον κύκλο που τέμνει την Ο'x' στο Α'. Ακολούθως γράφουμε τον κύκλο (Α', ΑΒ) του οποίου ένα κοινό σημείο με τον (Ο',ρ) είναι το Β'. Φέρουμε την ημιευθεία Ο'Β'. Η γωνία x'O'Β', δηλαδή η x'O'y' είναι η ζητούμενη. |
|
Οι γωνίες xÔy και x'Ô'y' είναι ίσες, γιατί είναι επίκεντρες στους ίσους κύκλους (Ο,ρ), (Ο',ρ) και βαίνουν στα ίσα τόξα ΑΒ και Α'Β' αντίστοιχα. (§ 2.18)
Για να έχει το πρόβλημα λύση, θα πρέπει οι κύκλοι (Ο',ρ) και (Α', ΑΒ) να τέμνονται. Αυτό όμως, συμβαίνει πάντοτε, επειδή για τη διάκεντρό τους Ο'Α' = ρ ισχύει: ρ - ΑΒ < ρ < ρ + ΑΒ (λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΟΑΒ). Μια δεύτερη λύση του προβλήματος αντιστοιχεί στο δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων (Ο',ρ) και (Α', ΑΒ).
Μικροπείραμα
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Να κατασκευασθεί η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος.
Έστω τμήμα ΑΒ (σχ.68). Με κέντρα τα άκρα του Α, Β και ακτίνα $ρ > \dfrac{ΑΒ}{2}$ γράφουμε δύο ίσους κύκλους. Αν Γ, Δ είναι τα κοινά σημεία των κύκλων αυτών, η ευθεία ε που ορίζουν είναι η ζητούμενη.
|
|
Η ευθεία ε είναι κοινή χορδή ίσων κύκλων, επομένως είναι κάθετη στη διάκεντρο ΑΒ (§3.16)
Για να έχει το πρόβλημα λύση θα πρέπει οι κύκλοι (Α, ρ) και (Β, ρ) να τέμνονται. Αυτό όμως ισχύει, αφού η διάκεντρό τους ΑΒ ικανοποιεί την ρ - ρ < ΑΒ < ρ + ρ.
Μικροπείραμα
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με την παραπάνω κατασκευή βρίσκουμε και το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος.
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Αρκετές φορές τα παραπάνω βήματα: κατασκευή, απόδειξη, διερεύνηση μπορεί να παρουσιάζονται ενοποιημένα.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α. Να κατασκευασθεί ευθεία που να διέρχεται από το Α κάθετη στην ε, όταν:
(i) το Α είναι σημείο της ευθείας ε,
(ii) το Α δεν είναι σημείο της ε.
(i) Με κέντρο το Α (σχ.69) και τυχαία ακτίνα γράφουμε κύκλο, ο οποίος τέμνει την ε στα σημεία Β και Γ. Έτσι το Α έγινε μέσο του τμήματος ΒΓ και επομένως η ζητούμενη κάθετος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ (προηγούμενη κατασκευή).
(ii) Με κέντρο το Α (σχ.70) και κατάλληλη ακτίνα γράφουμε κύκλο που τέμνει την ευθεία ε στα Β και Γ. Η μεσοκάθετος ζ του τμήματος ΒΓ, που κατασκευάζεται όπως προηγουμένως, είναι η ζητούμενη κάθετος.
Πράγματι, επειδή ΑΒ = ΑΓ, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου, η μεσοκάθετος της χορδής ΒΓ διέρχεται από το Α. |
|
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
Να κατασκευασθεί η διχοτόμος μιας γωνίας.
Έστω γωνία xÔy (σχ.71). Με κέντρο το Ο και τυχαία ακτίνα, γράφουμε κύκλο, που τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα Α, Β αντίστοιχα. Φέρουμε τη μεσοκάθετο δ (Πρόβλημα 2) της χορδής ΑΒ που είναι και η ζητούμενη διχοτόμος.
Πράγματι η ευθεία δ, ως μεσοκάθετος χορδής κύκλου, διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο ΑΒ της γωνίας xÔy (§ 3.6). Επομένως είναι διχοτόμος της.
Μικροπείραμα |
|
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Να κατασκευασθεί η εφαπτομένη ενός κύκλου (Ο,ρ) σε ένα σημείο του Α.
Στην προέκταση της ακτίνας ΟΑ (σχ.72) παίρνουμε το σημείο Β, ώστε να είναι ΑΒ = ΟΑ. Στη συνέχεια φέρουμε τη μεσοκάθετο του ΟΒ που είναι η εφαπτομένη του κύκλου, γιατί είναι κάθετη στην ακτίνα στο άκρο της Α.
Μικροπείραμα
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Για την κατασκευή των εφαπτομένων από σημείο εκτός κύκλου βλέπε σελ 142.
|
|
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων
Σε αντιστοιχία με τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων (§3.2-3.4) έχουμε τις επόμενες γεωμετρικές κατασκευές
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου δίνονται οι πλευρές ΑΒ = γ, ΑΓ = β και η περιεχόμενη γωνία A= ω.
Με πλευρά μια ημιευθεία Αx κατασκευάζουμε (§ 3.17) γωνία xAy = ω (σχ.73). Στις πλευρές Αx, Ay παίρνουμε, με το διαβήτη, τα σημεία Β, Γ |
|
αντίστοιχα, ώστε ΑΒ = γ και ΑΓ = β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, από την κατασκευή, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΓ = γ, ΑΓ = β και A = ω. Με τον περιορισμό 0° < ω < 180° (§3.10 Πορίσματα (ii)) το πρόβλημα έχει πάντα μοναδική λύση.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου δίνεται η πλευρά ΒΓ=α και οι προσκείμενες σε αυτή γωνίες B= ω και Γ = φ.
Θεωρούμε τμήμα ΒΓ = α και με κορυφές τα Β, Γ (σχ.74) κατασκευάζουμε, προς το ίδιο μέρος της ΒΓ, γωνίες ΓΒx = ω και ΒΓy = φ. Οι πλευρές Bx, |
|
Γy των γωνιών αυτών τέμνονται στο σημείο Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, από την κατασκευή, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΒΓ = α, Β = ω και Γ = φ. Με τον περιορισμό 0° < ω + φ < 180° (§3.10 Πορίσματα (ii)) το πρόβλημα έχει πάντα μοναδική λύση. Στο επόμενο κεφάλαιο (§4.2) θα δούμε ότι ο περιορισμός ω + φ < 180° εξασφαλίζει την τομή των ημιευθειών Βx και Γy.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου δίνονται οι πλευρές ΒΓ = α, ΑΓ = β και ΑΒ = γ.
Θεωρούμε τμήμα ΒΓ = α (σχ.75) και γράφουμε τους κύκλους (Β,γ) και (Γ,β). Αν οι κύκλοι τέμνονται και Α είναι το ένα από τα σημεία τομής τους, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. |
|
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Πράγματι το τρίγωνο ΑΒΓ, από την κατασκευή, έχει ΒΓ = α, ΑΒ = γ ως ακτίνα του (Β,γ)και ΑΓ = β ως ακτίνα του (Γ, β).
Για να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει οι κύκλοι (Β,γ) και (Γ,β) να τέμνονται, το οποίο συμβαίνει (§3.16) όταν β - γ< α< β + γ (β > γ). Αν Α' είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων (Β, γ) και (Γ, β), το τρίγωνο Α'ΒΓ είναι ίσο με το ΑΒΓ, επομένως δεν αποτελεί νέα λύση του προβλήματος, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα. |
ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Από την παραπάνω κατασκευή προκύπτει ότι τρία τμήματα α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνον αν
ισχύει β-γ<α<β+γ (β ≥ γ). Αν υποθέσουμε ότι α>β και α>γ, η τελευταία διπλή ισότητα είναι ισοδύναμη
με την α<β+γ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
|
1. Πώς θα χωρισθεί με κανόνα και διαβήτη ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τέσσερα ίσα τμήματα;
2. Πώς θα βρεθεί με κανόνα και διαβήτη το μέσο ενός τόξου δοσμένου κύκλου;
3. Πώς θα βρεθεί το κέντρο ενός κύκλου που έχει γραφεί με ένα νόμισμα;
4. Τα τμήματα α, β, γ με α > β και α > γ είναι πλευρές τριγώνου όταν:
α. α= β+γ β. α>β+γ γ. α < β+γ δ. α<2(β+γ)
ε. Τίποτε από τα προηγούμενα.
Kυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. |
1. Να κατασκευάσετε γεωμετρικά γωνία 45°.
2. Να χωρίσετε δοσμένη γωνία σε τέσσερις ίσες γωνίες.
3. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά γνωστό τμήμα α.
4. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο του οποίου δίνονται η βάση α και το αντίστοιχο σε αυτήν ύψος υ.
5. Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A = 90°, όταν δίνονται:
i) ΑΒ = γ και ΑΓ = β,
ii) ΑΒ = γ και ΒΓ = α,
όπου α, β, γ γνωστά τμήματα.
|
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' τέτοια, ώστε ΑΓ = Α'Γ', Γ = Γ' και Β + Β' = 2∟. i) Να αποδείξετε ότι ΑΒ = Α'Β', ii) Διατυπώστε λεκτικά την άσκηση αυτή.
2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και με πλευρές τις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ κατασκευάζουμε εξωτερικά του ΑΒΓ τρία ισόπλευρα τρίγωνα Α'ΒΓ, ΑΒ'Γ και ΑΒΓ'. Να αποδείξετε ότι ΑΑ' = ΒΒ' = ΓΓ'.
3. Αν ΟΚ, ΟΛ είναι αντίστοιχα τα αποστήματα των χορδών ΑΒ, ΓΔ κύκλου (O,R), να αποδείξετε ότι ΑΒ < ΓΔ, αν και μόνον αν ΟΚ > ΟΛ.
4. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε,Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα, ώστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ. Αν Κ, Λ, Μ τα σημεία τομής των ΑΕ,ΓΔ και ΒΖ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.
5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β < 1 ∟ και ΑΓ = 2ΑΒ. Να αποδείξετε ότι
Γ < A2. |
6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΒΓ2 και Γ = B2. Να αποδείξετε ότι Α = 1∟.
7. Να αποδείξετε ότι δύο τρίγωνα τα οποία έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες διαμέσους που περιέχονται στις πλευρές αυτές ίσες μία προς μία είναι ίσα.
8. Δίνεται μια γωνία xΟy και δύο εσωτερικά της σημεία Α και Β. Έστω Α' το συμμετρικό του Α ως προς την Ox και Β' το συμμετρικό του Β ως προς την Oy. Αν Μ, Ν είναι τυχαία σημεία των Ox, Oy αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΑΜ+ΜΝ+ΝΒ =Α'Μ+ΜΝ+ΝΒ'.
Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής να βρείτε τις θέσεις των Μ, Ν, για τις οποίες το άθροισμα ΑΜ + ΜΝ + ΝΒ είναι το μικρότερο δυνατό.
Μικροπείραμα |
|
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
Τα τρίγωνα ταξινομούνται σε
• σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα , ως προς τις πλευρές τους.
• οξυγώνια, ορθογώνια και αμβλυγώνια, ως προς τις γωνίες τους.
Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του, ενώ οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία.
Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ).
• Μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ).
• Και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).
Ειδικότερα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• Δύο οποιεσδήποτε ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.
• Μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία προς μία.
Στο ισοσκελές τρίγωνο:
• Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.
• Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.
• Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος.
• Το ύψος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι διχοτόμος και διάμεσος.
Στον κύκλο:
• Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και αντίστροφα.
• Δύο χορδές είναι ίσες, αν και μόνον αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.
• Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής:
- διέρχεται από το κέντρο του κύκλου,
- είναι μεσοκάθετος της χορδής,
- διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της χορδής.
Βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι: ο κύκλος, η μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και η διχοτόμος γωνίας.
• Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα του.
• Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίας, που ισαπέχουν από τις πλευρές της.
Δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ή μια ευθεία ε, όταν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ, ως προς το Ο ή την ε και αντίστροφα.
Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο:
• Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.
• Απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες.
• Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.
Βασική συνέπεια:
• Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι B = Γ, τότε θα είναι και β = γ.
• Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της βάσης ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος ή διχοτόμος και ύψος ή διάμεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
|
Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
 |
|
Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων |
|
|
Σχέση χορδών και αποστημάτων |
|
|
Βασικοί γεωμετρικοί τόποι: |
|
• κύκλος
• μεσοκάθετος
• διχοτόμος |
Συμμετρία ως προς κέντρο και άξονα
| |
|
Ανισοτικές σχέσεις - Κάθετες και πλάγιες |
|
|
Σχετικές θέσεις: |
|
• ευθείας και κύκλου
• δύο κύκλων
|
Απλές γεωμετρικές κατασκευές - Βασικές κατασκευές τριγώνων |
|
|
|
Γ 
