Δύο σώματα με πολύ μικρές διαστάσεις (σημειακές μάζες), που έχουν μάζες  m₁ και m₂  και βρίσκονται σε απόσταση r μεταξύ τους, έλκονται με δύναμη που έχει μέτρο

 

	F = G	m1 m2
		r2

 

όπου G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, G = 6,673 x 10^-13 N·m² / kg². Η δύναμη αυτή, όπως και η δύναμη Coulomb, είναι διατηρητική και κεντρική¹.

Η παραπάνω σχέση δίνει και τη δύναμη που αναπτύσσεται μεταξύ δύο ομογενών σφαιρικών μαζών m₁ και m₂. Στην περίπτωση αυτή απόσταση r είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων των σφαιρών και οι ελκτικές δυνάμεις έχουν σημεία εφαρμογής τα κέντρα των σφαιρών.

 

Η έλξη ανάμεσα σε δύο σώματα, με αίτιο το ότι έχουν μάζα, είναι δύναμη από απόσταση. Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου. Κάθε μάζα δημιουργεί γύρω της πεδίο. Αν κάποια μάζα βρεθεί μέσα στο πεδίο, το πεδίο τής ασκεί δύναμη.

 

Το πεδίο που δημιουργείται από μάζες ονομάζεται βαρυτικό πεδίο ή πεδίο

βαρύτητας.

 

Βαρυτικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος εκείνος στον οποίο κάθε μάζα δέχεται

δύναμη.

 

 

¹        Κεντρικές λέγονται οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ δύο σωμάτων και των οποίων ο φορέας συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων.

Για την περιγραφή του βαρυτικού πεδίου χρησιμοποιούμε τα μεγέθη ένταση  και δυναμικό.

 

Ένταση (g) του πεδίου βαρύτητας σε ένα του σημείο ονομάζουμε

το σταθερό πηλίκο της δύναμης (F) που θα δεχτεί μια μάζα (m) αν

φορτίζονται με φορτία +Q και -Q.

 

	g =	F	(5.52)
		m

 

H ένταση έχει την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη. Μονάδα της  έντασης είναι το 1N/kg  ή 1m/s², δηλαδή μετριέται σε μονάδες επιτάχυνσης.

 

Η επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα αν αφεθεί ελεύθερο στο πεδίο

βαρύτητας είναι α =	F	και από τη (5.52) προκύπτει ότι g = α, επομένως:
	m

 

Στο πεδίο βαρύτητας, η ένταση του πεδίου σε ένα σημείο ταυτίζεται με την επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα αν αφεθεί ελεύθερο σε εκείνο το σημείο.

To πεδίο βαρύτητας, όπως και το ηλεκτροστατικό πεδίο, είναι διατηρητικό. Επομένως για την περιγραφή του είναι χρήσιμο το μέγεθος δυναμικό που ορίζεται με τρόπο ανάλογο. Συγκεκριμένα:

 

Δυναμικό (V) του πεδίου βαρύτητας, σε ένα του σημείο Α,

ονομάζεται το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου,

όταν μεταφέρεται μάζα m από το σημείο Α στο άπειρο, προς τη

μάζα αυτή.

 

	VA	=	W A→∞
			m

 

Μονάδα δυναμικού του βαρυτικού πεδίου είναι το 1J/k

 

Διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β του πεδίου

βαρύτητας ονομάζεται το πηλίκο του έργου της δύναμης του

πεδίου, κατά τη μετακίνηση μιας μάζας m από το σημείο Α

στο σημείο Β, προς τη μάζα αυτή.

 

	V A - V B	=	W A→B
			m

 

Η διαφορά δυναμικού εκφράζει το έργο της δύναμης του πεδίου ανά μονάδα  μάζας κατά τη μετακίνηση μιας μάζας από το σημείο Α στο σημείο Β.

Το πεδίο που δημιουργείται από σημειακή μάζα

 

Η ένταση βαρυτικού πεδίου

Έστω μια σημειακή μάζα Μ. Για να βρούμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί η μάζα Μ σε σημείο Α που απέχει απόσταση r  απ’ αυτήν, τοποθετούμε στο σημείο αυτό μάζα  m.

H μάζα m δέχεται από την μάζα Μ δύναμη

	F = G	Mm	(5.53)
		r2

Η ένταση του πεδίου στο σημείο Α είναι

	g =	F	(5.54)
		m

Αντικαθιστώντας την (5.53) στην (5.54) έχουμε

 

	g = G	M	(5.55)
		r2

 

Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί η σημειακή μάζα Μ σε σημείο Α, που απέχει απόσταση r από το υλικό σημείο, έχει τιμή

 

	VA	= -G	M	(5.56)
			r

 

Η δυναμική ενέργεια συστήματος δύο υλικών σημείων με μάζες m₁, m₂, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση r, είναι ίση με το έργο που απαιτείται για να μεταφερθούν οι μάζες από πολύ μακριά και να τοποθετηθούν στις θέσεις τους και είναι

	U = -G	m1m2	(5.57)
		r

 

Η δυναμική ενέργεια συστήματος τριών υλικών σημείων (Σχ. 5.50) υπολογίζεται με τρόπο ίδιο με αυτόν που ακολουθήσαμε στην παράγραφο 3-5.  Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι:

 

U = -G	m1m2	-G	m1m3	-G	m2m3
	γ		β		α

 

Παρατηρήσεις

 

1.

Μια σφαιρική ομογενής μάζα Μ συμπεριφέρεται εξωτερικά σαν όλη η μάζα της να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο. Επομένως οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν πανομοιότυπα και για την περιγραφή του βαρυτικού πεδίου ομογενούς σφαιρικού σώματος μάζας Μ ακτίνας R, υπό την προϋπόθεση ότι εξετάζουμε το πεδίο στο χώρο έξω από τη μάζα του σώματος (r ≥ R). Εδώ τις αποστάσεις τις μετράμε από το κέντρο του σφαιρικού σώματος.

2.

Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση (5.57) υποδηλώνει ότι για να κάνουμε άπειρη την απόσταση  δυο μαζών που βρίσκονται  αρχικά σε απόσταση r πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα.

 

 

Δύο σφαιρικές μάζες m1 και m2 ηρεμούν σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Εξαιτίας της βαρυτικής δύναμης που ασκεί η μια στην άλλη αρχίζουν να κινούνται πλησιάζοντας μεταξύ τους. Αν κατά τη διάρκεια της κίνησής τους δεν ασκείται σε αυτές άλλη δύναμη, να βρείτε τις ταχύτητες των μαζών τη στιγμή που βρίσκονται σε απόσταση l μεταξύ τους. Δίνεται το G.

Σχ. 3.51

 

 

Απάντηση:

 

Εφόσον οι μάζες δε δέχονται άλλες δυνάμεις εκτός από τη μεταξύ τους ελκτική δύναμη, το σύστημά τους είναι απομονωμένο και η ορμή του διατηρείται.

Αν θεωρήσουμε ως αρχική θέση τη θέση όπου οι μάζες ηρεμούν και ως τελική αυτή όπου οι μάζες απέχουν μεταξύ τους απόσταση  θα ισχύει:

Pαρχ.= Pτελ.

Θεωρώντας θετική την κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται

0 = m2υ2 - m1υ1

 

Λύνοντας ως προς υ1 έχουμε		υ1 = υ2	m2	(5.58)
			m1

 

Το πεδίο βαρύτητας είναι διατηρητικό, δηλαδή η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή

 

Uαρχ. + Καρχ = Uτελ.+ Κτελ.

 

οπότε	0 = -G	m1m2	+	1	m1υ12 +	1	m2υ22
		l		2		2

 

αντικαθιστώντας τη υ1  από την (5.58) βρίσκουμε	0 = -G	m1m2	+	1	m22m1 υ22 +	1	m2υ22
		l		2		2

 

 

Από τη σχέση αυτή προκύπτει
και από την (5.58) βρίσκουμε