Φυσική (Β Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
3-3 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

Από το συνδυασμό των νόμων των αερίων προκύπτει η εξίσωση:

  pV = nRT (3.1)


H (3.1) ονομάζεται καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων.
Η R ονομάζεται σταθερά των ιδανικών αερίων και η τιμή της εξαρτάται από τις μονάδες των p, V, T. Στο σύστημα SI, όπου μονάδα πίεσης είναι το Ν/m2 και μονάδα όγκου είναι το m3, η τιμή της R είναι:

R = 8,314 J /mol · K

  

 

 

 

 

 

 

 

 
Συνήθως η πίεση μετριέται σε ατμόσφαιρες (atm), ο όγκος σε λίτρα (L) και η τιμή της R είναι:

R = 0,082 L · atm / mol · K

 

O αριθμός των mol του αερίου βρίσκεται από το πηλίκο της ολικής μάζας mολ του αερίου προς τη γραμμομοριακή του μάζα Μ.
  n  =  mολ (3.2)
M

 

Η σχέση (3.1) μπορεί με βάση την (3.2) να πάρει τη μορφή
  pV  =  mολ  R T (3.3)
M

 

Το πηλίκο της συνολικής μάζας του αερίου προς τον όγκο του δίνει την πυκνότητά του:
ρ  =  mολ
V
Έτσι, η σχέση (3.1) μπορεί να πάρει τη μορφή:
p  =  ρ  R T
M

 

Η καταστατική εξίσωση μπορεί να μας δώσει και έναν απλούστερο μακροσκοπικό ορισμό του ιδανικού αερίου:

 

Ιδανικό αέριο είναι το αέριο για το οποίο ισχύει η καταστατική εξίσωση

ακριβώς, σε όλες τις πιέσεις και θερμοκρασίες.

 

Στη συνέχεια, όπου αναφερόμαστε σε αέρια θα θεωρούμε ότι οι συνθήκες είναι τέτοιες ώστε ή καταστατική εξίσωση να ισχύει χωρίς αποκλίσεις.

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3-1

Στην αρχή ενός ταξιδιού η θερμοκρασία των ελαστικών ενός αυτοκινήτου είναι 7 oC. Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού τα ελαστικά θερμαίνονται στους 27 oC. Αν στην αρχή του ταξιδιού ο αέρας στο εσωτερικό των ελαστικών βρισκόταν σε πίεση 3atm, πόση θα έχει γίνει η πίεση στο τέλος του ταξιδιού; Υποθέτουμε ότι ο όγκος των ελαστικών παραμένει αμετάβλητος.

Απάντηση:

Aφού ο όγκος των ελαστικών παραμένει σταθερός, η μεταβολή είναι ισόχωρη και ισχύει p/T = σταθ.
Αν p1, T1 είναι η αρχική πίεση και θερμοκρασία και p2, T2 η τελική πίεση και θερμοκρασία των ελαστικών, έχουμε

p1  =  p2  επομένως   p2 = T2 p1= 300K  3atm=3,2atm 
T1 T2 T1 280K

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3-2

Να βρεθεί η πυκνότητα του αέρα μια καλοκαιρινή μέρα που η θερμοκρασία είναι 27oC. Υποθέτουμε ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι 1atm=(1,013x105 N/m2) και ότι ο αέρας συμπεριφέρεται σαν ιδανικό αέριο με γραμμομοριακή μάζα 29x10-3 kg / mol.

Απάντηση:

Η καταστατική εξίσωση γράφεται με τη μορφή:

p  =  ρ  R T  από την οποία προκύπτει  p  =  ρM
M RT

Αντικαθιστώντας στο SI έχουμε

p  =  1,013x105 N / m2·29x10-3kg / mol = 1,18kg / m3
8,314J/(mol K) · 300 K
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3-3

0,2 mol H2 βρίσκονται σε δοχείο με κινητό έμβολο σε θερμοκρασία Τ1=300 Κ και πίεση 2 atm (κατάσταση Α). Διατηρώντας σταθερή την πίεσή του θερμαίνουμε το αέριο μέχρις ότου η θερμοκρασία του γίνει Τ2=400 Κ (κατάσταση Β). Στη συνέχεια το αέριο εκτονώνεται ισόθερμα μέχρις ότου η πίεσή του γίνει ίση με 1,5 atm (κατάσταση Γ) και μετά ψύχεται με σταθερό όγκο μέχρι η θερμοκρασία του να γίνει Τ1=300Κ (κατάσταση Δ). Τέλος, το αέριο συμπιέζεται ισόθερμα μέχρι να φτάσει στην αρχική του κατάσταση.
Να βρείτε τις τιμές του όγκου της πίεσης, και της θερμοκρασίας που αντιστοιχούν στις καταστάσεις Α, Β, Γ και Δ και να αποδώσετε την παραπάνω διαδικασία σε διαγράμματα με άξονες P-V, P-T, και V-T.
Δίνεται η τιμή της σταθεράς R = 0,082 L · atm/ mol · K

Απάντηση:
  1. A.   Στην κατάσταση Α, το αέριο έχει πίεση pA=2 atm και ΤΑ=300 Κ. Τον όγκο του αερίου μπορούμε να τον υπολογίσουμε από την καταστατική εξίσωση.
    pAVA = nRTA       ή       VA = nRTApA =  0,2 mol · 0,082 L · atm / (mol · K) · 300 K
    2 atm



    από όπου προκύπτει    VA = 2,46 L.

    B.   Στην κατάσταση Β, το αέριο έχει πίεση pB=pA=2 atm και θερμοκρασία ΤB=400 Κ. Ο όγκος του υπολογίζεται από τη σχέση
    VA    =  VB           ή       VΒ =  TΒ VΑ = 400 Κ 2,46 L,
    TA TB TA 300 Κ



    από όπου προκύπτει    VB = 3,28 L.

    Γ.   Στην κατάσταση Γ, το αέριο έχει θερμοκρασία ΤΓ=400 Κ και πίεση pΓ=1,5 atm. Ο όγκος του υπολογίζεται από τη σχέση
    pBVB = pΓVΓ         ή        VΓ =  pΒ VΒ = 2 atm 3,28 L,
    pΓ 1,5 atm



    από όπου προκύπτει VΓ = 4,37 L.

    Δ.   Στην κατάσταση Δ, το αέριο έχει ΤΔ=300 Κ και όγκο VΔ=VΓ=4,37 L. atm και θερμοκρασία. Ο πίεσή του υπολογίζεται από τη σχέση
    pΔ    =  pΓ           ή       pΔ =  TΔ pΓ = 400 Κ 1,5 atm
    TΔ TΓ TΓ 300 Κ



    από όπου προκύπτει    pΔ= 1,125 atm.

    Οι τιμές που βρήκαμε φαίνονται συγκεντρωτικά στον πίνακα

      p(atm) V(L) T(K)
    A 2 2,46 300
    B 2 3,28 400
    Γ 1,5 4,37 400
    Δ 1,125 4,37 300

  2. Με βάση τις τιμές του πίνακα μπορούμε να κατασκευάσουμε τα διαγράμματα:

    εικόνα Σχ. 3.4