Δυναμικό

Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο η δυναμική ενέργεια δοκιμαστικού φορτίου q, στη θέση (Γ) που απέχει απόσταση r από φορτίο «πηγή» του πεδίου Q (Εικ. 31) είναι:

U₁ = k Qr q

Αν στη θέση (Γ) τοποθετήσουμε ένα άλλο δοκιμαστικό φορτίο q′ = 2·q, η δυναμική του ενέργεια γίνεται:

U₂ = k Qr · 2q

Διαπιστώνουμε ότι U₂ = 2·U₁ δηλαδή η δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του φορτίου q. Το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας του φορτίου q προς το φορτίο αυτό είναι μία φυσική ποσότητα που έχει σταθερή τιμή ανεξάρτητη του φορτίου q στη συγκεκριμένη θέση (Γ) του πεδίου. Τη φυσική αυτή ποσότητα ονομάζουμε δυναμικό του πεδίου στη θέση (Γ) και συμβολίζεται V_Γ.

Δυναμικό σε μία θέση (Γ) ηλεκτρικού πεδίου, ονομάζεται το μονόμετρο φυσικό μέγεθος, που είναι ίσο με το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας φορτίου q στη θέση Γ προς το φορτίο αυτό.

Το δυναμικό δίνεται από τη σχέση:

V_Γ = U_Γq     8

Μονάδα μέτρησης του δυναμικού στο S.I. είναι το 1V = 1J1C.

1Volt = 1Joule1C

Επειδή U_Γ = W_Γ→∞ η σχέση (8) γράφεται:

V_(Γ) = W_Γ→∞q     9

Τι σημαίνει λοιπόν ότι το δυναμικό σε μία θέση (Γ) του πεδίου είναι V_Γ = +10V;

Σημαίνει ότι, αν βρεθεί στη θέση (Γ) φορτίο δοκιμαστικό φορτίο +1C, θα έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια +10J ή ισοδύναμα, αν βρεθεί στη θέση (Γ) δοκιμαστικό φορτίο -1C, θα έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια -10J (Eικ. 32).

Δυναμικό ηλεκτροστατικού πεδίου Coulomb

Με βάση τη σχέση ορισμού του φυσικού μεγέθους του δυναμικού:

V_Γ = U_Γq

και αντικαθιστώντας τη δυναμική ενέργεια φορτίου q στη θέση (Γ) με τη σχέση:

U_Γ = k·Q·qr

έχουμε:

V_Γ = k·Qr     10

όπου Q το φορτίο που δημιουργεί το πεδίο και r η απόσταση μεταξύ του σημείου (Γ) και του φορτίου Q.

Παράδειγμα 6

1.

Να βρεθεί το δυναμικό σε απόσταση

(α) 30cm

(β) 60cm

από ένα φορτίο πηγή Q = -4μC.

2.

Πόση δυναμική ενέργεια έχει φορτίο q′ = 2μC αν βρεθεί σε απόσταση 30cm;

Δίνεται ότι: 1μC = 10^-6C και k = 9·10⁹N·m²C².

Λύση

1.

Το δυναμικό δίνεται από τη σχέση:

V_Γ = k·Qr

(α) Στην απόσταση των 30cm το δυναμικό είναι:

V₁ = 9·10⁹N·m²C²·-4·10^-6C3·10^-1m     ή     V₁ = -12·10⁴V

(β) Στην απόσταση των 60cm το δυναμικό είναι:

V₂ = 9·10⁹N·m²C²·-4·10^-6C6·10^-1m     ή     V₂ = -6·10⁴V

2.

Η δυναμική ενέργεια του φορτίου q′ υπολογίζεται από τη σχέση του δυναμικού:

V = Uq′

από την σχέση αυτή έχουμε:

U = V·q′     ή     U = -12·10⁴V·2·10^-6C = -0,24J

Αυτό σημαίνει ότι κατά τη μετακίνηση φορτίου 2μC στο άπειρο, η δύναμη του πεδίου καταναλώνει έργο ίσο με 0,24J.

Διαφορά δυναμικού

Έστω φορτίο πηγή Q και δοκιμαστικό φορτίο q, το οποίο μετακινείται από μία θέση (Σ) σε μία άλλη θέση (Ρ) του πεδίου (Εικ. 34). Το φορτίο Q στις θέσεις (Σ) και (Ρ) έχει δυναμική ενέργεια U_Σ και U_P αντίστοιχα. Τα δυναμικά στις θέσεις (Σ) και (Ρ) είναι V_Σ και V_P αντίστοιχα.

Η διαφορά V_Σ - V_P ονομάζεται διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων (Σ) και (Ρ) και συμβολίζεται V_ΣΡ και είναι:

V_ΣΡ = V_Σ - V_P     ή     V_ΣΡ = U_Σq - U_Ρq     ή     V_ΣΡ = U_Σ - U_Ρq     11

Όπως έχουμε αναφέρει για το ηλεκτροστατικό πεδίο ισχύει:

W_Σ→Ρ = -ΔU_ΣΡ = U_Σ - U_Ρ

Επομένως, η σχέση (11) γίνεται ισοδύναμα:

V_ΣΡ = W_Σ→Ρq

Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων (Σ) και (Ρ) ηλεκτρικού πεδίου ισούται με το πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μεταφορά δοκιμαστικού φορτίου q από τη θέση (Σ) στη θέση (Ρ), προς το φορτίο αυτό.

V_ΣΡ = W_Σ→Ρq     12

Η διαφορά δυναμικού επομένως μας δίνει: το έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου ανά μονάδα φορτίου για τη μετακίνησή του από τη θέση (Σ) στη θέση (Ρ).

Έστω ότι δύο σημεία (Σ) και (Ρ) (Εικ. 35) του ηλεκτροστατικού πεδίου, έχουν δυναμικά V_Σ = +14Volt και V_P = +10Volt. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο σημείων είναι:

V_ΣΡ = V_Σ - V_P = 14V - 10V = 4V

Αυτό σημαίνει ότι, κατά τη μετακίνηση θετικού δοκιμαστικού φορτίου ενός Coulomb από τη θέση (Σ) στη θέση (Ρ), το έργο της δύναμης του πεδίου είναι +4J και η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του δοκιμαστικού φορτίου ελαττώθηκε κατά 4J.

Παρατηρήσεις

1.

Στην περίπτωση του πεδίου Coulomb η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων (Σ) και (Ρ), υπολογίζεται από τη σχέση:

V_ΣΡ = V_Σ - V_P = k·Qr₁ - k·Qr₂     ή     V_ΣΡ = k·Q·1r₁ - 1r₂     13

όπου r₁, r₂ οι αποστάσεις των σημείων (Σ) και (Ρ) αντίστοιχα, από το φορτίο Q.

2.

Από τη σχέση (12) έχουμε ότι:

W_Σ→Ρ = q·V_ΣΡ     14

Η σχέση αυτή μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση ηλεκτρικού φορτίου q από το σημείο (Σ) σε σημείο (Ρ), των οποίων η διαφορά δυναμικού είναι V_ΣΡ.

Παράδειγμα 7

Δίνεται σημειακό ηλεκτρικό φορτίο Q = +10^-8C και δύο σημεία (Ρ) και (Σ) τα οποία απέχουν αποστάσεις r₁ = 0,4m και r₂ = 0,8m αντίστοιχα από το φορτίο Q (Eικ. 36). Να βρεθούν:

(α)

Η διαφορά δυναμικού V_ΡΣ μεταξύ των σημείων (Ρ) και (Σ).

(β)

Το έργο της δύναμης του πεδίου, όταν φορτίο q = +4μC μετακινηθεί από τη θέση (Ρ) στη θέση (Σ).

(γ)

Ποια είναι η φυσική σημασία του W_ΡΣ;

Δίνεται: k = 9·10⁹N·m²/C².

Λύση

(α)

Η διαφορά δυναμικού V_ΡΣ υπολογίζεται από τη σχέση:

V_ΡΣ = V_P - V_Σ     1

Από τη σχέση (10) έχουμε:     V_Ρ = k·Qr₁     2

και:     V_Σ = k·Qr₂     3

Η (1) λόγω των (2) και (3) γίνεται:

V_ΡΣ = V_Ρ - V_Σ = k·Qr₁ - k·Qr₂ = k·Q·1r₁ - 1r₂

ή     V_ΡΣ = 9·10⁹N·m²C²·10^-8C·10,4m - 10,8m = 112,5V

(β)

To έργο της δύναμης υπολογίζεται από τη σχέση (14):

W_Ρ→Σ = q·V_ΡΣ     ή     W_Ρ→Σ = 4·10^-6·112,5V = 450Joule

(γ)

Το αποτέλεσμα της ερώτησης (β) σημαίνει ότι κατά τη μετακίνηση του φορτίου q από το (Σ) στο (Ρ), η δύναμη του πεδίου παράγει έργο ίσο με 450J ή ότι η δυναμική ενέργεια του φορτίου στη θέση (Σ) μειώθηκε κατά 450 Joule.