4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων

αx + β = 0,     αx² + βx + γ = 0     και     αx⁴ + βx² + γ = 0,     με α ≠ 0

Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις.

Συγκεκριμένα:

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής

α_vx^ν + α_v-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀ = 0,     α_v ≠ 0

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2x³ - 5x² + x - 2 = 0 και -3x⁶ + 5x² + 1 = 0 είναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως.

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου P(x) = α_vx^ν + α_v-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0.

Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από 2, θα περιοριστούμε στην γνωστή μας παραγοντοποίηση.

Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία

P₁(x)·P₂(x)…P_k(x) = 0 ⇔ (P₁(x) = 0   ή   P₂(x) = 0   ή   …   P_k(x) = 0)

Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση x³ - 3x + 2 = 0. Αυτή γράφεται:

x³ - 3x + 2 = 0 

⇔ x³ - x - 2x + 2 = 0

⇔ x(x² - 1) - 2(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)[x(x + 1) - 2] = 0

⇔ (x - 1)(x² + x - 2) = 0

⇔ x - 1 = 0   ή   x² + x - 2 = 0

⇔ x = 1   ή   x = -2

Παράγοντας της μορφής x - ρ

Το θεώρημα που ακολουθεί μας βοηθά σε ορισμένες περιπτώσεις, στην εύρεση πρωτοβάθμιων παραγόντων.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν o ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε

α_vρ^ν + α_v-1ρ^ν-1 + … + α₁ρ + α₀ = 0 

⇔ α₀ = -α_vρ^ν - α_v-1ρ^ν-1 - … - α₁ρ

⇔ α₀ = ρ(-α_vρ^ν-1 - α_v-1ρ^ν-2 - … - α₁)

Επειδή οι ρ, α₁, α₂, …, α_ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και o -α_vρ^ν-1 - α_v-1ρ^ν-2 - … - α₁ είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α₀.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Να λυθεί η εξίσωση x³ - 3x² + x + 2 = 0.

ΛΥΣΗ

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες ±1, ±2 του σταθερού όρου. Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο P(x) = x³ - 3x² + x + 2

Έχουμε:

P(1) = 1 ≠ 0

Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x)

P(-1) = -3 ≠ 0

Άρα το -1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x)

P(2) = 0

Άρα το 2 είναι ρίζα του Ρ(x)

Επομένως το x - 2 είναι παράγοντας του Ρ(x). Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε

P(x) = (x - 2)(x² - x - 1)

οπότε η εξίσωση γράφεται (x - 2)(x² - x - 1) = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς 2, 1 - √52 και 1 + √52.

ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α₀, χωρίς αυτός να είναι κατ' ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης π.χ. ο ρ = 1.

2º Να λυθεί η εξίσωση x⁴ + 5x³ + 9x² + 8x + 4 = 0.

ΛΥΣΗ

Οι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±1, ±2, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί, οι διαιρέτες 1, 2, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι -1, -2, και -4.

Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε Ρ(-1) = 1 ≠ 0, ενώ για ρ = -2 έχουμε:

P(-2) = 0

Άρα το -2 είναι ρίζα του P(x)

Η εξίσωση τότε γράφεται

(x + 2)(x³ + 3x² + 3x + 2) = 0

Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για το Q(x) = x³ + 3x² + 3x + 2 και ρ = -2 έχουμε

Q(-2) = 0

Άρα το -2 είναι ρίζα του Q(x)

Επομένως είναι x³ + 3x² + 3x + 2 = (x + 2)(x² + x + 1) και η αρχική εξίσωση γράφεται

(x + 2)²(x² + x + 1) = 0

Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό -2.

Πρόσημο γινομένου

Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) • B(x) •....•Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A(x),B(x),...., Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx² + βx + γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x) , όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x ∈ $\mathbb{R}$ το πρόσημο του γινομένου

P(x) = (x ‒ 1) (x² + x ‒ 6) (2x² + x + 1).

ΛΥΣΗ

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής :

✔ Επειδή

x ‒ 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

το x ‒ 1 είναι θετικό για x >1 , μηδέν για x =1 και αρνητικό για x <1 .

✔ Επειδή x² + x ‒ 6 ≥ 0 ⇔ (x + 3) (x ‒ 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3   ή   x ≥ 2
το x² + x ‒ 6 είναι θετικό για x < −3 και για x > 2 , μηδέν για x = −3 και για x = 2 και αρνητικό για
−3 < x < 2 .

✔ Επειδή 2x² + x + 1 έχει διακρίνουσα ∆ = 1− 8 = − 7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x ∈$\mathbb{R}$ .
Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων.

Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για −3 < x < 1 και για x > 2 , ενώ είναι αρνητικό για x < −3 και για
1< x < 2 . Τέλος είναι μηδέν για x = −3 για x =1 και για x = 2 .

Ανισώσεις της μορφής A(x) • B(x) • ... • Φ(x) > 0 (<0)

Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής A(x)•B(x)•...•Φ(x) > 0 (<0), όπως είναι για παράδειγμα η ανίσωση

(x ‒ 1) (x² + x ‒ 6) (2x² + x + 1)

Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του x ∈ R για τις οποίες το γινόμενο P(x) = (x ‒ 1) (x² + x ‒ 6) (2x² + x + 1) είναι αρνητικό. Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x) διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x ( −∞ ,−3) ∪ (1,2) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να λυθεί η ανίσωση x³ - 3x² + x + 2 > 0.

ΛΥΣΗ

Αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα 1, η ανίσωση γράφεται

(x - 2)(x² - x - 1) > 0 ή (x - 2)(x - 1 - √52)(x - 1 + √52) > 0.

Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x³ - 3x² + x + 2 σε άξονα και παρατηρούμε ότι:

Στο 1ο από δεξιά διάστημα (2, +∞) το Ρ(x) είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα (1 + √52, 2) το Ρ(x) είναι αρνητικό, αφού ένας μόνο παράγοντας, ο x - 2, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε το πρόσημο του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x ∈ R, με 1 - √52 < x < 1 + √52 ή x > 2.

Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση

Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, που παρουσιάζεται βήμα προς βήμα στο παράδειγμα που ακολουθεί, στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα:

Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής:

Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β)) που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x′x, τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x³ - 3x + l = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών 1 και 2. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου.

ΛΥΣΗ

Έστω η συνάρτηση f(x) = x³ - 3x + l

1^o βήμα: Έχουμε:

$\begin{cases} f(1) = -1 < 0 \\ f(2) = 3 > 0 \end{cases} $

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα (1,2).

2^ο βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 1,1, 1,2, … 1,9 και παρατηρούμε ότι:

$\begin{cases} f(1, 5) \simeq -0,13 < 0 \\ f(1, 6) \simeq 0,30 > 0 \end{cases} $

Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,5, 1,6)

3^ο βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (1,5, 1,6) και έχουμε:

$\begin{cases} f(1, 53) \simeq -0,01 < 0 \\ f(1, 54) \simeq 0,03 > 0 \end{cases} $

Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (1,53, 1,54) δηλαδή ισχύει 1,53 < ρ < 1,54. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 1,5.

Μικροπείραμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) 5x4 = 6x2	ii) x3 + 2x2 - 9x - 18 = 0
	iii) 3x5 + 5x4 = 3x3 + 5x2	iv) x6 - 64 = 0
	v) x3 + x2 - 2 = 0	vi) x3 - 7x + 6 = 0
	vii) (x + 1)3 + 1 = 0	viii) 7(3x + 2)2(1 - x)2 - (3x + 2)(1 - x)3 = 0
	ix) x3 + 8 = 7(x2 + 5x + 6) + 9x2 - 36	x) x4 - 3x3 + 6x - 4 = 0
	Μικροπείραμα         Μικροπείραμα
2.	Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων:
	i) x3 - 3x2 + x + 2 = 0	ii) 3x3 + 8x2 - 15x + 4 = 0
	iii) x3 - 10x - 12 = 0	iv) x3 + 2x2 + 7x + 6 = 0
	Μικροπείραμα
3.	Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες.
	i) x4 + 3x - 2 = 0	ii) 2x4 - 3x3 + 6x2 - 24x + 5 = 0
4.	Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω γινομένων, για τις διάφορες τιμές του x
	i) $P(x) = (2-3x)(x^2-x-2)(x^2-x+1)$	ii) $Q(x) = (-x^2+4)(x^2-3x+2)(x^2+x+1)$
5.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
	i) $2x^5 - 162x$ ≤ 0	ii) $(x^3-x^2+2x-2)(x^2-9)$ > 0
	iii) $2x^3-5x^2-6x+9$ > 0	iv) $x^3 - 4x^2 - 3x + 18$ ≤ 0
6.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
	i) x3 + 2x2 + 3x + 6 > 0	ii) x4 - 6x3 + 22x2 - 30x + 13 ≤ 0
	iii) x3 - 3x + 2 < 0	iv) x4 - x3 + x2 - 3x - 6 ≥ 0
7.	Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x′x και της γραφικής παράστασης καθεμιάς από τις συναρτήσεις:
	i) f(x) = 3x3 - 3x2 - 5x - 2,	ii) g(x) = 4x3 - 3x - 1
8.	Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x) = x4 - 5x3 + 3x2 + x βρίσκεται κάτω από τον άξονα x′x.
9.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) x8 - 15x4 - 16 = 0	ii) (x - 1)6 - 9(x - 1)3 + 8 = 0
	iii) 6(   x   x + 1)2 + 5(   x   x + 1) - 6 = 0