3.10 Επίλυση τριγώνου

Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομα της, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του.

Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βασικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και το άλλο ως νόμος των συνημίτονων.

Νόμος των ημίτονων

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω (0,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τη διάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ που είναι ορθογώνιο στο Γ. Επομένως έχουμε:

(1)

ημΔ = (ΒΓ)(ΒΔ) =  α 2R, οπότε   α  ημΔ = 2R

Είναι όμως Δ = Α (Σχ. 1) ή Δ + Α = 180$^\circ$ (Σχ. 2), οπότε ημΔ = ημΑ. Επομένως η (1) γράφεται

  α  ημΑ = 2R

Αν Α = 90$^\circ$, τότε έχουμε: ημΑ = 1 και α = 2R (Σχ. 3). Επομένως και στην περίπτωση αυτή ισχύει ισότητα   α  ημΑ = 2R.

Όμοια αποδυκνείεται ότι:

  β  ημΒ = 2R     και       γ  ημΓ = 2R

Επομένως:

  α  ημΑ =   β  ημΒ =   γ  ημΓ = 2R

Μικροπείραμα

ΣΧΟΛΙΟ Με το νόμο των ημίτονων μπορούμε εύκολα να επιλύσουμε ένα τρίγωνο, όταν δίνονται:

i)  

Μια πλευρά και δυο γωνίες του ή

ii) 

Δυο πλευρές και μια από τις μη περιεχόμενες γωνίες του.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1º Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 15, Α = 43$^\circ$ και Β = 82$^\circ$.

ΛΥΣΗ

Επειδή Α + Β + Γ = 180^o, έχουμε: Γ = 180$^\circ$ - Α - Β = 180$^\circ$ - 43$^\circ$- 82$^\circ$ = 55$^\circ$

Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε:

$\dfrac{15}{ημ43^\circ} = \dfrac{β}{ημ82^\circ} = \dfrac{γ}{ημ55^\circ}$

οπότε:

$β = \dfrac{15\cdotημ82^\circ}{ημ43^\circ} \simeq \dfrac{15\cdot0,9903}{0,6820} \simeq 22$

$γ = \dfrac{15\cdotημ55^\circ}{ημ43^\circ} \simeq \dfrac{15\cdot0,8192}{0,6820} \simeq 18$

2º Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 23, β = 31 και Β = 35$^\circ$.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε:

(1)

$\dfrac{23}{ημΑ} = \dfrac{31}{ημ35^\circ} = \dfrac{γ}{ημΓ}$

οπότε:

$ημΑ = \dfrac{23\cdotημ35^\circ}{31} \simeq \dfrac{23\cdot0,5736}{31} \simeq 0,4255$

Άρα

$Α \simeq 25^\circ \quad \quad ή \quad \quad Α \simeq 155^\circ$

Επειδή όμως α < β, θα είναι και Α < Β. Επομένως από τις παραπάνω τιμές της Α δεκτή είναι μόνο η $Α \simeq 25^\circ$.

Έτσι έχουμε

$Γ = 180^\circ - Α - Β \simeq 180^\circ - 25^\circ - 35^\circ = 120^\circ$

οπότε, λόγω της (1), ισχύει

$\dfrac{31}{ημ35^\circ} = \dfrac{γ}{ημ120^\circ}$ ⇔ $γ = \dfrac{31\cdotημ120^\circ}{ημ35^\circ} \simeq \dfrac{31\cdot0,8660}{0,5736} \simeq 47$

Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται τρεις δυνάμεις που έχουν μέτρα F₁, F₂ και F₃ αντιστοίχως και σχηματίζουν ανά δυο γωνίες ω₁, ω₂ και ω₃, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν το υλικό σημείο ισορροπεί, να αποδειχθεί ότι:

$\mathbf{\dfrac{F_1}{ημω_1} = \dfrac{F_2}{ημω_2} = \dfrac{F_3}{ημω_3} }$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή το σημείο Ο ισορροπεί, η συνισταμένη $\vec{F}$ των $\vec{F}_1$ και $\vec{F}_2$ θα έχει ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο με την $\vec{F}_3$. Επομένως από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε:

$\mathsf{\dfrac{(ΒΓ)}{ημΒ\hat{O}Γ} = \dfrac{(OΒ)}{ημΒ\hat{Γ}Ο} = \dfrac{(ΟΓ)}{ημΟ\hat{Β}Γ}}$ ⇔ $\mathsf{\dfrac{F_1}{ημω_1} = \dfrac{F_2}{ημω_2} = \dfrac{F_3}{ημω_3}}$ ,

αφού $\mathsf{Β\hat{O}Γ= 180^\circ - ω_1}$ ,   $\mathsf{Β\hat{Γ}Ο= 180^\circ - ω_2}$   και   $\mathsf{Ο\hat{Β}Γ= 180^\circ - ω_3}$.

Νόμος των συνημίτονων

Όταν είναι γνωστές οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου ή οι δυο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία τους δεν μπορούμε εύκολα με μόνο το νόμο των ημίτονων να υπολογίσουμε τα άλλα στοιχεία του. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως νόμος των συνημίτονων.

Μικροπείραμα     Μικροπείραμα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ^∗

Θα αποδείξουμε μόνο την πρώτη ισότητα. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες ισότητες.

Στο επίπεδο του τριγώνου θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α και θετικό ημιάξονα των x την ημιευθεία ΑΒ. Έτσι οι συντεταγμένες του Β θα είναι (γ,0), ενώ για τις συντεταγμένες (x, y) του Γ θα ισχύει

συνΑ = xβ     και     ημΑ = yβ

ή ισοδύναμα

x = βσυνΑ     και     y = βημΑ

Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα τον τύπο της απόστασης για τα σημεία Β(γ,0) και Γ(x,y), βρίσκουμε ότι:

$\mathsf{α = (ΒΓ) = \sqrt{(x - y)^2 + (y - 0)^2}}$

οπότε, λόγω της (1), έχουμε:

ΣΧΟΛΙΟ Είναι φανερό ότι με το νόμο των συνημίτονων μπορούμε αμέσως να υπολογίσουμε μια οποιαδήποτε πλευρά ενός τριγώνου, αρκεί να δοθούν οι άλλες δύο και η περιεχόμενη τους γωνία. Με τον ίδιο νόμο μπορούμε επιπλέον να υπολογίσουμε και τις γωνίες ενός τριγώνου, του οποίου είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές, αφού οι παραπάνω ισότητες γράφονται:

συνΑ = β² + γ² - α²2βγ ,     συνΒ = γ² + α² - β²2γα ,     συνΓ = α² + β² - γ²2αβ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1º Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 35, β = 20 και γ = 42.

ΛΥΣΗ

Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

● 35² = 20² + 42² - 2·20·42συνΑ, οπότε συν Α = 20² + 42² - 35²2·20·42 $\simeq$ 0,5589. Άρα Α $\simeq$ 56$^\circ$

● 20² = 35² + 42² - 2·35·42συνΒ, οπότε συν Β = 35² + 42² - 20²2·35·42 $\simeq$ 0,8806. Άρα Β $\simeq$ 28$^\circ$

Άρα Γ $\simeq$ 96$^\circ$

2º Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με β= 20, γ = 42 και Α = 56$^\circ$.

Μικροπείραμα

ΛΥΣΗ

Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

α² = 20² + 42² - 2·20·42συν56$^\circ$ $\simeq$ 1225, οπότε α $\simeq$ 35.

Έτσι γνωρίζουμε και τις τρεις πλευρές του τριγώνου, οπότε αναγόμαστε στο προηγούμενο πρόβλημα.

3º Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: E = 12βγημΑ.

Μικροπείραμα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν φέρουμε το ύψος ΓΚ του τριγώνου, έχουμε:

E = 12 (AB)·(ΓΚ) 

[γιατί ημΑ = (ΓΚ)(ΑΓ)]

= 12 (AB)·(AΓ)·ημΑ

= 12 γ·β·ημΑ

Ο παραπάνω τύπος ισχύει προφανώς και στην περίπτωση που Α = 90$^\circ$.

Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται δυο δυνάμεις που έχουν μέτρα F₁ και F₂ αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία ω. Να αποδειχθεί ότι το μέτρο F της συνισταμένης τους δίνεται από τον τύπο:

F² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂συνω

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή (ΟΑ) = F₁, (ΑΓ) = F₂ και (ΟΓ) = F, στο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ′ ΟΜΑΔΑΣ)