3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

$\dfrac{(MM_1)}{(ΟΜ)}$ = $\dfrac{(ΝΝ_1)}{(ΟΝ)}$, $ \quad \quad $ $\dfrac{(ΟM_1)}{(ΟΜ)}$ = $\dfrac{(ΟΝ_1)}{(ΟΝ)}$ $ \quad \quad $ και $ \quad \quad $ $\dfrac{(MM_1)}{(ΟΜ_1)}$ = $\dfrac{(ΝΝ_1)}{(ΟΝ_1)}$

Επομένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα

$\dfrac{(MM_1)}{(ΟΜ)}$, $ \quad \quad $ $\dfrac{(ΟM_1)}{(ΟΜ)}$ $ \quad \quad $ και $ \quad \quad $ $\dfrac{(MM_1)}{(ΟΜ_1)}$

είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας. Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως.

Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο , ισχύει:

ημω = $\dfrac{(MM_1)}{(ΟΜ)}$ $ \quad \quad $ $\left(\dfrac{\text{απέναντι $\quad$ κάθετη}}{υποτείνουσα} \right )$

συνω = $\dfrac{(ΟM_1)}{(ΟΜ)}$ $ \quad \quad $ $\left(\dfrac{\text{προσκείμενη $ \quad $κάθετη}}{υποτείνουσα} \right )$

εφω = $\dfrac{(ΜM_1)}{(ΟΜ_1)}$ $ \quad \quad $ $\left(\dfrac{\text{απέναντι $\quad$ κάθετη}}{προσκείμενη κάθετη} \right )$

Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβολίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο

σφω = $\dfrac{(ΟM_1)}{(ΜΜ_1)}$ $ \quad \quad $ $\left(\dfrac{\text{προσκείμενη $\quad$ κάθετη}}{tαπέναντι κάθετη} \right )$

Μικροπείραμα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0^o ≤ ω ≤ 360^o

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθεία Ot (Σχ. α΄, β΄). Ο θετικός ημιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω,
ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω.

Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(x, y) και φέρνουμε την κάθετη MM₁
στον άξονα x'x (Σχ. α΄ και β΄). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α΄), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οι
ισότητες :

ημω = $\dfrac{(MM_1)}{(ΟΜ)}$ , $ \quad $ συνω = $\dfrac{(ΟM_1)}{(ΟΜ)}$ , $ \quad $ εφω = $\dfrac{(ΜM_1)}{(ΟΜ_1)}$ $ \quad $ και $ \quad $ σφω = $\dfrac{(ΟM_1)}{(ΜΜ_1)}$

Όμως (ΟM₁) = x , (MM₁) = y και (ΟΜ) = $\sqrt{x^2 + y^2} = ρ$ > 0 . Επομένως,

οι παραπάνω ισότητες γράφονται :

ημω = $\dfrac{y}{ρ}$, $ \quad $ συνω = $\dfrac{x}{ρ}$, $ \quad $ εφω = $\dfrac{y}{x}$ $ \quad $ και $ \quad $ σφω $\dfrac{x}{y}$, $ \quad $ όπου ρ = $\sqrt{x^2 + y^2}$ > 0.

Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β΄). Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε :

όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = $\sqrt{x^2 + y^2}$ > 0 η απόσταση του Μ από το Ο.

Μικροπείραμα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360^o και αρνητικών γωνιών

Ας υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας Ox ενός συστήματος συντεταγμένων Oxy περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Αν πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου 30^o , τότε λέμε ότι ο Ox έχει διαγράψει γωνία

ω = 360^o + 30^o = 390^o.

Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες των 360^o , δηλαδή οι γωνίες της μορφής :

ω = v∙360^o + μ^o = 390 όπου ν∈ $\mathbb{N}$* και 0^o ≤ μ ≤ 360^o

Αν τώρα ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία μέτρου 30^o , τότε λέμε ότι ο ημιάξονας Ox έχει διαγράψει αρνητική γωνία 360^o + 30^o = 390^o ή αλλιώς γωνία :

ω = ‒( 360^o + 30^o) = ‒390^o.

Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής :

ω = ‒( v∙360^o + μ^o) , όπου ν∈ $\mathbb{N}$  και  0^o ≤ μ ≤ 360^o

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 360^o , καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από 0^o μέχρι 360^o
Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε:

όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και ρ = $\sqrt{x^2 + y^2}$ > 0 η απόσταση του Μ από το Ο.

Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα Ox .Αν ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία  v∙360^o + ω που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω.

Αν όμως ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία − v∙360^o + ω που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την ω.

Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k∙360^o + ω , k ∈ Ζ , επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Επομένως, για κάθε k ∈ Ζ θα ισχύει :

Μικροπείραμα

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε τον λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους.

Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ=1 γράφουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος.

Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνίας ω =35^o τέμνει τον κύκλο
αυτό στο σημείο Ν(α, β).

Επειδή ηµ35^o = $\dfrac{β}{ρ}$ και ρ = 1

θα ισχύει ηµ35^o = β ≅0,57 .

Ομοίως, επειδή συν35^o = $\dfrac{α}{ρ}$ και ρ = 1 ,
θα ισχύει συν35^o = α ≅0,82 .

Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(x, y), τότε ισχύει:

Για το λόγο αυτό ο άξονας x'x λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας y'y λέγεται και άξονας των ημίτονων.

Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:

1. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει :

2. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας.

Μικροπείραμα

Ο άξονας των εφαπτομένων

Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο M(x, y). Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο 1^o τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμε

εφω = $\dfrac{(ΑΕ)}{(ΟΑ)}$ = $\dfrac{(ΑΕ)}{1}$ = (ΑΕ)

Αν με y_E παραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE) = y_E , οπότε θα είναι

εφω = y_E .

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει:

εφω = y_E =τεταγμένη του σημείου Ε

Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x =1 , λέγεται άξονας των εφαπτομένων.

Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών

Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα τόξο ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή 1rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α∙ρ Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέρησης των γωνιών ως εξής:

Μικροπείραμα

Από τον ορισμό αυτό προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών, ως εξής :

Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ^o, και α rad . Επειδή το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ είναι 2πρ ,

η γωνία 360^o είναι ίση με 2π rad.

οπότε ,

η γωνία 1 rad είναι ίση με $\dfrac{360}{2π}$ μοίρες ,

Επομένως ,

η γωνία α rad είναι ίση με α∙$\dfrac{180}{π}$ μοίρες .

Επειδή όμως η γωνία ω είναι µ^o , θα ισχύει µ = $α \cdot\dfrac{180}{π}$ , οπότε θα έχουμε:

Για παράδειγμα :

✔ Για να εκφράσουμε τη γωνία 60^o σε ακτίνια, θέτουμε στον τύπο $\dfrac{α}{π}$ = $\dfrac{μ}{180}$ όπου μ = 60^o και έχουμε

$\dfrac{α}{π}$ = $\dfrac{60}{180}$ ⇔ $α = \dfrac{π}{3} $

Άρα είναι 60^o = $\dfrac{π}{3} $ rad.

✔ Για να εκφράσουμε τη γωνία $\dfrac{5π}{6} $ rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύπο

$\dfrac{α}{π}$ = $\dfrac{μ}{180}$ όπου α = $\dfrac{5π}{6}$ και έχουμε

$\dfrac{\dfrac{5π}{6}}{π}$ = $\dfrac{μ}{180}$ ⇔ $\dfrac{5}{6}$ = $\dfrac{μ}{180}$ ⇔ μ = 150

'Αρα $\dfrac{5π}{6}$ rad = 150^o .

Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει μήκος x, αντί να γράφουμε ημ(x rad), συν( x rad), εφ(x rad) και σφ(x rad), θα γράφουμε απλά ημx, συνx, εφx και σφx.

Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε π.χ. ημ(π/3 rad) θα γράφουμε απλά ημπ/3 και αντί ημ(100rad ) θα γράφουμε απλά ημ100.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1^η Οι μετρήσεις που έκανε ένας μηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καμπαναριού ΓΚ,

φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογιστεί το ύψος του καμπαναριού σε μέτρα με προσέγγιση ακέραιας μονάδας.

ΛΥΣΗ

Από το σχήμα έχουμε:

εφ48^o = $\dfrac{h}{ΑΓ}$ , οπότε ΑΓ = $\dfrac{h}{εφ48^ο}$

εφ70^o = $\dfrac{h}{ΒΓ}$ , οπότε ΒΓ = $\dfrac{h}{εφ70^ο}$

ΑΓ - ΒΓ = ΑΒ = 20m

Επομένως $\dfrac{h}{εφ48^ο}$ - $\dfrac{h}{εφ70^ο}$ = 20 , οπότε h = $\dfrac{20εφ70^ο \cdot εφ48^ο}{εφ70^ο \cdot εφ48^ο}$ .

Με τους τριγωνομετρικούς πίνακες ή με ένα κομπιουτεράκι βρίσκουμε ότι

εφ70^o $\simeq$ 2,75 και εφ48^o $\simeq$ 1,11.

Αντικαθιστούμε στην (1) και έχουμε:

h $\simeq$ $\dfrac{61,05}{1,64}$ $\simeq$ 37

Άρα το ύψος του καμπαναριού είναι περίπου 37m .

Μικροπείραμα

2^η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 750^o .

ΛΥΣΗ

Αν διαιρέσουμε το 750 με το 360 βρίσκουμε πηλίκο 2 και υπόλοιπο 30, έτσι έχουμε

750^o = 2 $\cdot$ 360^o + 30^o

Επομένως
ημ750^o = ημ(2 $\cdot$ 360^o + 30^o) = ημ30^o = $\dfrac{1}{2}$                              συν750^o = συν30^o = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
εφ750^o = εφ30^o = $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$                                                            σφ750^o = σφ30^o = $\sqrt{3}$

3^η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας $\dfrac{79π}{3}$ rad.

ΛΥΣΗ

Είναι $\dfrac{79π}{3}$ = $\dfrac{79}{6} \cdot 2π$. Αν τώρα διαιρέσουμε τον 79 με τον 6 βρίσκουμε πηλίκο 13 και υπόλοιπο 1.

Επομένως είναι $\dfrac{79π}{3} = \dfrac{79}{6} \cdot 2π $ = $\left(13 + \dfrac{1}{6}\right)$ $2π =$$ 13 \cdot 2π + \dfrac{π}{3}$ , οπότε θα έχουμε:

$ημ\dfrac{79π}{3} = ημ\left(13 \cdot 2π + \dfrac{π}{3}\right) = ημ\dfrac{π}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$                                            $συν\dfrac{79π}{3} = συν\dfrac{π}{3} = \dfrac{1}{2}$

$εφ\dfrac{79π}{3} = εφ\dfrac{π}{3} = \sqrt{3}$                                                                               $σφ\dfrac{79π}{3} = σφ\dfrac{π}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη x, y και τη γωνία ω .
2. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του διπλανού σχήματος.
3. Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι:
i) ρ = 1cm	ii) ρ = 2cm	iii) ρ = 3cm .
4. Να εκφράσετε σε rad γωνία
i) 30o	ii) 120o	iii)1260o	iv) -1485o.
5. Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία:
i) $\dfrac{π}{10}$ rad	ii) $\dfrac{5π}{6}$ rad	iii) $\dfrac{91π}{3}$ rad	iv) 100 rad.
6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας
i) 1830o	ii) 2940o	iii) 1980o	iv) 3600o
Μικροπείραμα