1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

Μαθαίνω πότε παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία που τις τέμνει.
Μαθαίνω να διαιρώ ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα τμήματα.
Μαθαίνω τι ονομάζεται λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων και πώς υπολογίζεται.
Μαθαίνω πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα προς δύο άλλα τμήματα.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να χαράξετε μια ευθεία ε κάθετη στις γραμμές του τετραδίου σας και να διαπιστώσετε ότι τρεις διαδοχικές γραμμές του τετραδίου ορίζουν στην ευθεία ε ίσα ευθύγραμμα τμήματα.

2. Αν χαράξετε μια άλλη ευθεία ε΄ που δεν είναι κάθετη στις γραμμές του τετραδίου, τότε οι τρεις προηγούμενες διαδοχικές γραμμές ορίζουν ίσα τμήματα και στην ε΄;

Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών

Παίρνουμε τρεις παράλληλες ευθείες ε₁, ε₂, ε₃ που τέμνουν την ευθεία ε στα σημεία Α, Β, Γ αντιστοίχως, έτσι ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ να είναι ίσα μεταξύ τους.

Αν μια άλλη ευθεία ε΄ τέμνει τις ε₁, ε₂, ε₃ στα σημεία Α΄, Β΄, Γ΄ αντιστοίχως, τότε θα αποδείξουμε ότι και τα ευθύγραμμα τμήματα Α΄Β΄, Β΄Γ΄ είναι ίσα μεταξύ τους.

Πράγματι, αν φέρουμε Α΄Δ // ε, Β΄Ε // ε και συγκρίνουμε τα τρίγωνα Α΄Β΄Δ και Β΄Γ΄Ε παρατηρούμε ότι έχουν:

Α΄Δ = Β΄Ε γιατί Α΄Δ = ΑΒ, Β΄Ε = ΒΓ ως απέναντι πλευρές των παραλληλογράμμων ΑΑ΄ΔΒ, ΒΒ΄ΕΓ αντιστοίχως και από την υπόθεση έχουμε ΑΒ = ΒΓ.
Β₂΄ = Γ₂΄ γιατί είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ε₂, ε₃ που τέμνονται από την ε΄.
Α₁΄ = Β₁΄ γιατί είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων Α΄Δ, Β΄Ε που τέμνονται από την ε΄.

Τα τρίγωνα αυτά έχουν δύο γωνίες ίσες, οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση, επομένως είναι ίσα, γιατί έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία. Άρα, θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε Α'Β' = Β'Γ'. Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι:

Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

εικονες

Για παράδειγμα, σ´ ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) αν από το μέσο Μ της ΑΔ φέρουμε ευθεία ΜΝ παράλληλη προς τις βάσεις του, τότε οι παράλληλες ΑΒ, ΜΝ, ΔΓ, αφού ορίζουν ίσα τμήματα στην ΑΔ, θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΒΓ. Άρα ΒΝ = ΝΓ.

Ομοίως, σ´ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν από την κορυφή Α φέρουμε ευθεία ε // ΒΓ και από το μέσο Μ της ΑΒ φέρουμε ΜΝ // ΒΓ, τότε οι παράλληλες ε, ΜΝ, ΒΓ αφού ορίζουν ίσα τμήματα στην ΑΒ, θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΑΓ. Άρα ΑΝ = ΝΓ. Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι:

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του.

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Αν πάρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 5 cm και θέλουμε να το διαιρέσουμε σε τρία ίσα τμήματα, τότε το μήκος κάθε τμήματος θα είναι 1,66... cm, οπότε καθένα από αυτά δεν προσδιορίζεται με ακρίβεια.

Μπορούμε όμως να διαιρέσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα με ακρίβεια, αν εργαστούμε με τη βοήθεια κανόνα και διαβήτη ως εξής:

Από το σημείο Α φέρουμε μια τυχαία ημιευθεία Αx και πάνω σ' αυτήν παίρνουμε με το διαβήτη τρία διαδοχικά ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ, ΕΖ, ΖΗ. Ενώνουμε τα σημεία Β, Η και από τα σημεία Ζ, Ε, Α φέρνουμε ΖΔ, ΕΓ, Αy παράλληλες προς τη ΒΗ. Οι παράλληλες αυτές ορίζουν στην Αx ίσα τμήματα, οπότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΑΒ. Άρα έχουμε ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να διαιρέσουμε το ευθύγραμμο ΑΒ σε 4, 5, 6, ..., ν ίσα τμήματα.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

H έννοια του λόγου δύο ευθυγράμμων τμημάτων

Αν έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και σε μια ευθεία ε πάρουμε τέσσερα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα που το καθένα είναι ίσο με ΑΒ, τότε κατασκευάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, για το οποίο λέμε ότι είναι ίσο με 4·ΑΒ και γράφουμε ΓΔ = 4·ΑΒ. Η ισότητα αυτή γράφεται και ως εξής:
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι ο λόγος του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ο αριθμός 4.
Αν διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΔ, ΔΒ, τότε λέμε ότι το τμήμα ΑΓ είναι ίσο με ·ΑΒ και γράφουμε:

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι:

Ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ συμβολίζεται

και είναι ο αριθμός λ, για τον οποίο ισχύει ΓΔ = λ · ΑΒ.

Αν πάρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = 3 cm και ΓΔ = 6 cm, τότε μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ο λόγος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι , δηλαδή είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους .

Μικροπείραμα

Γενικά

Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους, εφόσον έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης.

Για παράδειγμα, αν έχουμε ΔΕ = 120 cm και ZH = 1,5 m, τότε

εικονα

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι ένας αριθμός που εκφράζει τη σχέση που συνδέει τα μήκη τους. Αν γνωρίζουμε λοιπόν το λόγο δύο ευθυγράμμων τμημάτων π.χ. εικονα , αυτό σημαίνει ότι το μήκος του ΑΒ είναι διπλάσιο από το μήκος του ΓΔ, αλλά δε γνωρίζουμε το μήκος κάθε τμήματος, αφού είναι δυνατό να είναι ΑΒ = 80 cm και ΓΔ = 40 cm ή ΑΒ = 18 cm και ΓΔ = 9 cm κ.τ.λ.

Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα

εικονα

Αν πάρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = 9 cm και ΓΔ = = 3 cm, τότε ο λόγος του ΑΒ προς το ΓΔ είναι. Ομοίως, αν πάρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΕΖ = 6 cm και

ΗΘ = 2 cm, τότε ο λόγος του ΕΖ προς το ΗΘ είναι εικονα .

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι , δηλαδή ο λόγος του ΑΒ προς το ΓΔ είναι ίσος με το λόγο του ΕΖ προς το ΗΘ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΕΖ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ, ΗΘ.

Γενικά

Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ, όταν ισχύει

Η ισότητα ονομάζεται αναλογία με όρους τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ, δ. Τα ευθύγραμμα τμήματα α, δ ονομάζονται άκροι όροι, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα β, γ ονομάζονται μέσοι όροι της αναλογίας.

Σε μια αναλογία με όρους τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ, δ χρησιμοποιούμε τις γνωστές ιδιότητες των αναλογιών που ισχύουν και στους αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή ως α, β, γ, δ θεωρούμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων.

Οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών είναι:

Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων.
Σε κάθε αναλογία μπορούμε να εναλλάξουμε τους μέσους ή τους άκρους όρους και να προκύψει πάλι αναλογία.
Λόγοι ίσοι μεταξύ τους είναι και ίσοι με το λόγο που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

εικονα

Σε τετραγωνισμένο χαρτί έχουμε χαράξει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
α) Να συγκριθούν τα τμήματα ΑΓ, ΓΔ και ΔΒ.

β) Να βρεθούν οι λόγοι

Λύση

α) Οι παράλληλες ευθείες ε₁, ε₂, ε₃, ε₄ ορίζουν ίσα τμήματα στην ευθεία ζ₁, οπότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΑΒ. Άρα ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ.

β) Αφού τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΔ, ΔΒ είναι ίσα, έχουμε:

Σε Αν Δ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ, ΔΕ // ΒΓ και ΕΖ // ΑΒ, να αποδειχτεί ότι: α) Ζ το μέσον της πλευράς ΒΓ

β)

Λύση

α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Δ μέσο ΑΒ και ΔΕ // ΒΓ, οπότε Ε μέσο της ΑΓ. Επειδή Ε το μέσο της ΑΓ και ΕΖ // ΑΒ, έχουμε Ζ μέσο ΒΓ.

β) Το τετράπλευρο ΔΕΖΒ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, άρα ΔΕ = ΒΖ.

Άμεσα λοιπόν προκύπτει ότι:

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Αν ΑΔ διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Â = 90º) και ΔΕ // ΑΒ, να αποδειχτεί ότι:

α) Ε μέσο της πλευράς ΑΓ

β)

Λύση

α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Δ μέσο της ΒΓ και ΔΕ // ΑΒ, οπότε Ε μέσο της ΑΓ.

β) Επειδή ΔΕ // ΑΒ και ΑΒ ⊥ ΑΓ, θα είναι ΔΕ ⊥ ΑΓ. Άρα, ΔΕ μεσοκάθετος του ΑΓ και από τη χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου έχουμε ΑΔ = ΔΓ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Αν Α, Β, Γ, Δ είναι διαδοχικά σημεία μιας ευθείας ε τέτοια ώστε ΑΒ = 2 cm, ΒΓ = 4 cm και ΓΔ = 3 cm, να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ, ΑΓ.

Λύση

Άρα έχουμε: εικόνα που σημαίνει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ, ΑΓ.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Στο διπλανό σχήμα είναι ε₁ // ε₂ // ε₃. Να υπολογίσετε το x.

Αν Β΄Β // ΓΓ΄ // ΔΔ΄ και η διάμετρος ΓΔ του δεύτερου ημικυκλίου είναι 4 cm, τότε να βρείτε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος είναι η ΕΖ παράλληλη προς τις βάσεις του; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

Αν ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΕ να συμπληρώσετε τις ισότητες:

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

Βλέποντας την αναλογία εικονα η Μαρία ισχυρίστηκε ότι ΑΒ = 1 και ΓΔ = 4, ενώ η Ελένη ισχυρίστηκε ότι το ΓΔ είναι τετραπλάσιο του ΑΒ. Ποια από τις δύο έχει δίκιο;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ // ΔΕ // ΗΘ και ΒΓ // ΕΖ // ΘΙ. Αν ΑΔ = ΔΗ, να υπολογίσετε το x και το y.

α) Με κανόνα και διαβήτη να διαιρέσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 7 cm σε πέντε ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Πάνω σε μια ευθεία ε να σχεδιάσετε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

β) Να υπολογίσετε τους λόγους:

εικονα

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος να βρείτε τους λόγους:

εικονα

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90º) είναι ΑΒ = 6 cm και ΒΓ = 10 cm. Να υπολογίσετε τους λόγους:

Να σχεδιάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 4 cm. Να υπολογίσετε το λόγο του ύψους του προς την πλευρά του.

Από το μέσο Μ της διαγωνίου ΑΓ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να φέρετε ΕΖ // ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ, ΔΓ αντιστοίχως.

β) Τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ είναι ανάλογα προς τα τμήματα ΑΕ, ΑΜ.

Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι. Αν Μ είναι το μέσον της διαγωνίου ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΒΜ = ΜΔ.

Ένα αγρόκτημα έχει το σχήμα ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ. Ο ιδιοκτήτης του θέλει να μετρήσει την περίμετρο του, προκειμένου να το περιφράξει αλλά τη ΒΓ δεν μπορεί να τη μετρήσει γιατί παρεμβάλλεται ένας νερόλακκος που σχηματίστηκε από την τελευταία βροχόπτωση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Πώς θα μπορούσε να την υπολογίσει;