• Μαθαίνω τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας
• Γνωρίζω τους βασικούς κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων.

Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα άρτιο μονοψήφιο φυσικό αριθμό, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = {0, 2, 4, 6, 8}.

Αν κάθε αριθμός επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων, τότε όλοι οι αριθμοί έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής και λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα.

Στο εξής, όταν λέμε ότι η επιλογή γίνεται στην τύχη θα εννοείται ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα.

Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε από τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω αριθμό μικρότερο του 6, είναι το Α = {0, 2, 4} και πραγματοποιείται αν επιλέξουμε 0 ή 2 ή 4, ενώ το ενδεχόμενο να επιλέξουμε αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 6 είναι Β = {6, 8} και πραγματοποιείται αν επιλέξουμε 6 ή 8. Βλέπουμε λοιπόν ότι από τους 5 αριθμούς του δειγματικού χώρου Ω, 3 αριθμοί εξασφαλίζουν την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α και 2 αριθμοί εξασφαλίζουν την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου Α είναι ή 60% και συμβολίζουμε P(A)= ή 60%, ενώ η πιθανότητα της πραγματοποίησης του ενδεχομένου Β είναι P(B)= ή 40%. Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ο αριθμητής του κλάσματος είναι το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για την πραγματοποίηση του ενδεχομένου, αφού Ν(Α) = 3 και Ν(Β) = 2, ενώ ο παρονομαστής του κλάσματος είναι το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος, αφού Ν(Ω) = 5.

Για παράδειγμα, από ένα κουτί που περιέχει 25 όμοιες μπάλες, από τις οποίες οι 11 είναι πράσινες και οι 14 είναι κόκκινες, αν βγάλουμε στην τύχη μία, τότε οι πιθανότητες των ενδεχομένων Π: Βγάζω πράσινη μπάλα και Κ: Βγάζω κόκκινη μπάλα είναι:

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ακόμη ότι:

Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το 1, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει:

 0≤ P(A)≤ 1

Μικροπείραμα     Μικροπείραμα

Αν ρίξουμε ένα ζάρι, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} του οποίου τα 6 δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα. Έτσι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α = {1, 2} είναι

Αν τώρα πάρουμε τα ενδεχόμενα Α = {1, 2}, Β = {2, 3, 5} και

προσδιορίσουμε την ένωση και την τομή τους, τότε έχουμε:

Α U Β = {1, 2, 3, 5} και Α ∩ Β = {2}.

Τις προηγούμενες ιδιότητες χρησιμοποιούμε συχνά για να υπολογίσουμε πιθανότητες και γι´ αυτό λέμε ότι αποτελούν βασικούς κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων.

Μικροπείραμα    Μικροπείραμα    Μικροπείραμα    Μικροπείραμα

Λύση

2

Μια ομάδα δίνει δύο αγώνες. Αν η πιθανότητα να κερδίσει τον πρώτο αγώνα είναι 45%, η πιθανότητα να κερδίσει τον δεύτερο αγώνα είναι 60% και η πιθανότητα να κερδίσει και τους δύο αγώνες είναι 27%, να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) Να μην κερδίσει τον πρώτο αγώνα.

β) Να κερδίσει έναν τουλάχιστον από τους δύο αγώνες.

Λύση

Α. ΣΥΝΟΛΑ

• Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που καθορίζονται με απόλυτη σαφήνεια και διακρίνονται το ένα από το άλλο.
• Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με αναγραφή ή με περιγραφή των στοιχείων του και με το διάγραμμα Venn.
• Ίσα ονομάζονται δύο σύνολα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.
• Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β και συμβολίζεται Α ⊆ Β.
• Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ∅

• Ένωση δύο συνόλων Α, Β ονομάζεται ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων και συμβολίζεται Α U Β.
• Τομή δύο συνόλων Α, Β ονομάζεται ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά στοιχεία και των δύο συνόλων και συμβολίζεται Α ∩ Β.
• Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α ως προς ένα βασικό σύνολο Ω ονομάζεται ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται Α΄.

Β. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ − ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

• Πείραμα τύχης ονομάζεται κάθε πείραμα που όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του με απόλυτη βεβαιότητα.
• Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του και συμβολίζεται με Ω.
• Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται, όταν το αποτέλεσμα του πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο του ενδεχομένου.
• Βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος.
• Αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος.

• Ασυμβίβαστα ονομάζονται δύο ενδεχόμενα Α και Β, όταν Α ∩ Β = ∅.

Γ. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

• Κλασικός ορισμός της πιθανότητας
  Σ´ ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζουμε τον αριθμό
  
  − Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1.
  −Ισχύουν Ρ(Ω) = 1 και Ρ(Ø) = 0.
• Βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων
  Σ´ ένα πείραμα τύχης
  − για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α΄) = 1
  − για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β).