1.4 Πολλαπλασιαμός πολυωνύμων

Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω

Μονώνυμο με πολυώνυμο
Πολυώνυμο με πολυώνυμο

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να γράψετε το γινόμενο α(β + γ) σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα και με ανάλογο τρόπο να βρείτε την παράσταση 3x²(2x³ + 6x).
2.Να γράψετε το γινόμενο (α + β)(γ + δ) σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα και με ανάλογο τρόπο να βρείτε την παράσταση (3x²y + 2y)(2x² + 5).

Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο

Την αλγεβρική παράσταση 3x²(2x³ + 6x) που είναι γινόμενο του μονωνύμου 3x² με το πολυώνυμο 2x³ + 6x, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, μπορούμε να τη γράψουμε

3x²(2x³ + 6x) = 3x²·2x³ + 3x²·6x = 6x⁵ + 18x³

Διαπιστώνουμε ότι:

Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο

εικόνα

Διαπιστώνουμε ότι:

Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Όταν κάνουμε πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο πολυωνύμων, λέμε ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα ονομάζεται ανάπτυγμα του γινομένου.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να γίνουν οι πράξεις:

εικόνα

Λύση

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η πρόσοψη μιας πόρτας, που είναι κατασκευασμένη από αλουμίνιο. Αν ένα μέρος της πόρτας είναι διακοσμητικό τζάμι, να προσδιοριστεί το πολυώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν του αλουμινίου, το οποίο απαιτείται για την κατασκευή της πρόσοψης της πόρτας.

Λύση

H πόρτα έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις 2x + y και 4x + 10, οπότε έχει εμβαδόν (2x + y)(4x + 10).

Το διακοσμητικό τζάμι έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις y και x + 10, οπότε έχει εμβαδόν y(x + 10).

Επομένως, το εμβαδόν του αλουμινίου που απαιτείται για την κατασκευή της πρόσοψης της πόρτας είναι:

(2x + y)(4x + 10) - y(x + 10) = 8x² + 20x + 4xy + 10y - xy - 10y =8x² + 20x + 3xy

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β.

Στήλη Α		Στήλη Β
		1.	x² - x
α.	x(x + 1)	2.	x² +1
β.	(x + 1)(x - 1)	3.	x² + 2x+1
γ.	x(x - 1)	4.	x² + 2x+3
δ.	(x + 1)(1 + x)	5.	x²+x
ε.	(x + 1)(x + 2)	6.	x²+3x+2
		7.	x²-1

α	β	γ	δ	ε

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες.

α) Αν το πολυώνυμο P(x) έχει βαθμό 3 και το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό 2, τότε το πολυώνυμο P(x)·Q(x) έχει βαθμό 6.
β) Αν το πολυώνυμο P(x)·Q(x) έχει βαθμό 7 και το πολυώνυμο P(x) έχει βαθμό 3, τότε το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό 4.

Μικροπείραμα

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά:

x(2x + …) = … + 4x
3x²(… - 2) = 3x³y - …
(x + 5)(… + 3) = 2x² + … + 10x + …
(x² + y)(x- …) = … - x²y² + … - y³

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

O όγκος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι:
1. 3x + 1
2. x³ + 1
3. x³ + x²
4. x³ + x
Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι:
1. 6x² + 4x + 1
2. 4x² + 6x
3. 6x² + 4x + 2
4. 6x² + 4x

O καθηγητής των Μαθηματικών ζήτησε από τους μαθητές του να γράψουν την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ και οι μαθητές του έδωσαν τις εξής απαντήσεις:

(x + 2)(x + 3)
2x · 3x
x2 + 6
x2 + 5x + 6

Ποιές απ´ αυτές είναι σωστές;

Μικροπείραμα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να κάνετε τις πράξεις:

-3x²y(-5x + 2y)
4x(2x² - x + 2) - 8x
-5x(2x - 3) - 3x(2- 3x)
2xy(x² - 3y²) - 4x(x²y- 2y³)

Να κάνετε τις πράξεις:

(2α - 3β)(-4α + 2β)
(x² - 2x + 4)(x + 2) - 8
3x²(-2x + 3)(5 - x)
(4 - 3x)(5 - 2x) - 6x(x - 4)
(2x² - 3x - 4)(-3x² + x)
(3x² - 2xy - 5y²)(4y - x)

Να κάνετε τις πράξεις:

(3x - 2)(x² - x)(4x - 3)
-2x(x² - x + 1)(x - 2) - (x - 1)(2x - 3)(x + 2)
(-2x + y)(x² - 3xy) - (3x - y)(4x + y)(-2x - 3y)

Να αποδείξετε τις ισότητες:

α) (x² - 4x + 4)(x² + 4x + 4) - x²(x² - 8) - 16 = 0

β) (3α + 8β)(β - α) - (α + 2β)(β - 3α) = 6β²

Αν P(x) = -2x² + 5x - 3 και Q(x) = 4x - 5, να βρείτε τα πολυώνυμα:

P(x)·Q(x)
P(x)·[-3Q(x) + 11x - 12]
[P(x) - 2]·[Q(x) + 3]

Αν P(x) = 3x(-2x + 4)(x - 1) και Q(x) = αx³ + βx² + yx + δ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ, ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα.

Να βρείτε την πλευρά τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος.

Μικροπείραμα

Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με πλάτος x μέτρα και με μήκος μεγαλύτερο από το πλάτος του κατά 5 μέτρα. Αν το μήκος ελαττωθεί κατά 3 μέτρα και το πλάτος ελαττωθεί κατά 1 μέτρο, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου θα μειωθεί κατά 4x + 2 τετραγωνικά μέτρα.