3.2.	Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης

Μεταβλητή

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα χάρτη μιας πόλης στον οποίο φαίνονται οι δύο κεντρικές οδικές αρτηρίες της πόλης και μερικά οικοδομικά τετράγωνα.

Έχουν, επίσης, σημειωθεί μερικά βασικά σημεία της πόλης, όπως η Ομόνοια (κεντρική πλατεία και σημείο διασταύρωσης των δύο βασικών λεωφόρων), το Δημαρχείο, το Εμπορικό Κέντρο, κ.τ.λ.

Για να επισκεφθούμε κάποιο από αυτά τα σημεία (π.χ. το Δημαρχείο), ξεκινώντας από την Ομόνοια πρέπει να κινηθούμε τρία τετράγωνα προς τα δεξιά πάνω στη Λεωφόρο Ευτυχίας και ένα τετράγωνο προς τα πάνω παράλληλα προς τη Λεωφόρο Ευημερίας.

Δηλαδή, η θέση του Δημαρχείου προσδιορίζεται επακριβώς από το ζεύγος των αριθμών (3, 1).

Ομοίως, η θέση της Εκκλησίας προσδιορίζεται από το ζεύγος των αριθμών (-3, 1). Δηλαδή για να πάμε στην εκκλησία ξεκινώντας από την Ομόνοια, πρέπει να κινηθούμε τρία τετράγωνα προς τα αριστερά στη Λεωφόρο Ευτυχίας και ένα τετράγωνο προς τα πάνω, παράλληλα προς την Λεωφόρο Ευημερίας.

Να χρησιμοποιήσετε το διπλανό διάγραμμα (που είναι ένας πιο απλός χάρτης της ίδιας πόλης),

για να προσδιορίσετε τη θέση και των άλλων βασικών σημείων της πόλης που φαίνονται στο χάρτη.

Λύση

Ξεκινώντας από την Ομόνοια (Ο) έχουμε:

Μνημείο Ηρώων:	1 τετράγωνο δεξιά και 3 πάνω,	άρα (1, 3).
Εμπορικό Κέντρο:	1 τετράγωνο αριστερά και 2 πάνω,	άρα (-1, 2).
Μουσείο:	2 τετράγωνα αριστερά και 3 κάτω,	άρα (-2, -3).
Σχολείο:	0 τετράγωνα αριστερά (ή δεξιά) και 2 κάτω,	άρα (0, -2).
Ερείπια Αρχ. Ναού:	2 τετράγωνα δεξιά και 4 κάτω,	άρα (2, -4).
Μεσαιωνικό Κάστρο:	3 τετράγωνα δεξιά και 1 κάτω,	άρα (3, -1).

Μικροπείραμα

Σύστημα συντεταγμένων

Στην παραπάνω δραστηριότητα διαπιστώσαμε ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου της πόλης χρησιμοποιώντας δύο βασικούς οδικούς άξονες: τις Λεωφόρους Ευτυχίας και Ευημερίας.

Την ιδέα αυτή μπορούμε να την εφαρμόσουμε γενικότερα για να προσδιορίσουμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου, ως εξής:

1. Σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x'x και y'y, με κοινή αρχή Ο και ίδιες μονάδες μέτρησης καθώς και ένα σημείο M.

2. Από το M φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα y'y που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο A.

Για το σχήμα μας το Α αντιστοιχεί στον αριθμό 3 του άξονα x'x.

3. Από το M φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα x'x που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο B. Για το σχήμα μας το Β αντιστοιχεί στον αριθμό 2 του άξονα y'y.

Δηλαδή, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο ζεύγος των αριθμών (3, 2) και συμβολίζεται M(3, 2). Ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς λέγεται τετμημένη του σημείου Μ και ο δεύτερος λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.

Η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ λέγονται συντεταγμένες του σημείου M.

Αλλά και αντιστρόφως, αν έχουμε ένα σύστημα αξόνων στο επίπεδο και ένα ζεύγος αριθμών π.χ. το

μπορούμε να βρούμε ένα μόνο σημείο Μ του επιπέδου που αντιστοιχεί στο ζεύγος αυτό ως εξής:


1. Σημειώνουμε με Α το σημείο του άξονα x'x που αντιστοιχεί στον αριθμό -3 και με Β το σημείο του άξονα y'y που αντιστοιχεί στον αριθμό	2. Από τα σημεία Α και Β φέρνουμε παράλληλες προς τους άξονες y'y και x'x αντίστοιχα, που τέμνονται στο σημείο M, που είναι το ζητούμενο με συντεταγμένες

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι άξονες x'x και y'y αποτελούν ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλώς σύστημα αξόνων.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Παρατήρησεις:

α) Στα παραπάνω σχήματα χρησιμοποιήσαμε κάθετους άξονες των οποίων οι μονάδες μέτρησης έχουν το ίδιο μήκος. Ένα τέτοιο σύστημα λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

Όπως θα δούμε όμως παρακάτω, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες επιβάλλεται να χρησιμοποιήσουμε συστήματα αξόνων με διαφορετικού μήκους μονάδες μέτρησης στους άξονες x'x και y'y.

Φυσικά, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ορθοκανονικό. Στα επόμενα σχήματα -εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά- λέγοντας σύστημα αξόνων θα εννοούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

β) Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια.

Στο διπλανό σχήμα σημειώνονται τα πρόσημα της τετμημένης και της τεταγμένης σε κάθε τεταρτημόριο.

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Δίνεται η συνάρτηση

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών:
β) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα.
γ) Να ενώσετε με γραμμές τα σημεία αυτά. Τι γραμμή σχηματίζεται;
δ)Να επαναλάβετε τα παραπάνω βήματα (α), (β) και (γ) για την ίδια συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα τιμών. Τι παρατηρείτε;

ε) Τι γραμμή θα σχηματιστεί, αν χρησιμοποιήσουμε ένα πίνακα τιμών με πολύ περισσότερα ζεύγη τιμών;

Λύση


β) Τα ζεύγη (x, y) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα είναι: (-4, 8), (-2, 2), (0, 0), (2, 2) και (4, 8) που αντιστοιχούν στα σημεία Α, Β, Ο, Γ και Δ του παρακάτω σχήματος	γ) Ενώνοντας με τη σειρά τα σημεία Α, Β, Ο, Γ και Δ σχηματίζεται μια πολυγωνική γραμμή.

δ) Ομοίως έχουμε: Τα σημεία τώρα είναι περισσότερα και η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται μοιάζει με καμπύλη.

ε) Ας χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα τιμών με πολύ περισσότερα ζεύγη. Για παράδειγμα: Όπως παρατηρούμε στα παρακάτω σχήματα, η γραμμή που θα σχηματιστεί θα είναι καμπύλη.

Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x. Ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, y).

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δίνει μια «εποπτική» εικόνα της συνάρτησης αυτής και μας βοηθάει να

αντλήσουμε χρήσιμες πληροφορίες για τη σχέση των μεταβλητών x και y.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

1
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ και Δ του παρακάτω σχήματος. Τι συμπεραίνετε;

Λύση:

Παρατηρούμε ότι από τα σημεία Α και Γ οι κάθετες προς τον άξονα y'y αντιστοιχούν στο σημείο Ο,

οπότε αυτά τα σημεία έχουν τεταγμένες 0. Άρα είναι Α(2, 0), Γ(-3, 0).

Ομοίως, από τα σημεία Β και Δ οι κάθετες προς τον άξονα x'x αντιστοιχούν στο σημείο Ο,

οπότε τα σημεία αυτά έχουν τετμημένη 0. Άρα είναι Β(0, 3) και Δ(0, -4).

Δηλαδή:

Κάθε σημείο του άξονα x'x έχει τεταγμένη 0

και

κάθε σημείο του άξονα y 'y έχει τετμημένη 0.

Δίνεται το σημείο Α(3, 2). Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς:

α) τον άξονα x'x

β) τον άξονα y'y

γ) την αρχή Ο των αξόνων.

Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων αυτών;

Λύση:

Από το Α φέρνουμε κάθετες ΑΜ και ΑΠ στους άξονες x'x και y'y.

α) Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΒ = ΜΑ.

Το σημείο Β είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα x'x και έχει συντεταγμένες (3, -2).

β) Προεκτείνουμε την ΑΠ κατά τμήμα ΠΔ = ΠΑ.

Το σημείο Δ είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα y'y και έχει συντεταγμένες (-3, 2).

γ) Ενώνουμε το Α με την αρχή Ο των αξόνων και προεκτείνουμε κατά τμήμα ΟΓ = ΟΑ.

Το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την αρχή Ο και έχει συντεταγμένες (-3, -2)

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Δίνονται τα σημεία Α(2, 3) και Β(10, 9). Να υπολογίσετε την απόστασή τους ΑΒ.

Τι συμπεραίνετε;

Λύση:

Σχηματίζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος.

Τότε το σημείο Γ έχει συντεταγμένες (10, 3),

οπότε ΑΓ = 10 - 2 = 8 και ΒΓ = 9 - 3 = 6.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι:

Γενικότερα:

Αν δίνονται δύο σημεία ,
η απόστασή τους υπολογίζεται από τον τύπο:

Μικροπείραμα

Έχει διαπιστωθεί ότι το νερό της θάλασσας δεν έχει παντού την ίδια θερμοκρασία.

Όσο πιο βαθιά κατεβαίνουμε, τόσο πιο κρύο γίνεται το νερό.

Ένα ωκεανογραφικό σκάφος κάνει μετρήσεις θερμοκρασίας σε διάφορα βάθη στο βόρειο Αιγαίο, με τα εξής αποτελέσματα :

όπου Τ είναι η θερμοκρασία (σε βαθμούς Κελσίου) η οποία μεταβάλλεται ως συνάρτηση του βάθους x (σε μέτρα).

α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.

β)Να χρησιμοποιήσετε τη γραφική παράσταση για να εκτιμήσετε τη θερμοκρασία του νερού σε βάθος 500 μέτρων.

γ) Σε ποιο βάθος από την επιφάνεια της θάλασσας η θερμοκρασία είναι 15°C;

Λύση:

α) Σ' ένα σύστημα αξόνων τοποθετούμε τα σημεία με συντεταγμένες

(0, 28), (50, 20), (100, 17), (200, 12) και (400, 9). Χρησιμοποιούμε ένα μη ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Στον άξονα x'x η μονάδα μέτρησης αντιστοιχεί σε 100 μέτρα, ενώ στον άξονα y'y η μονάδα μέτρησης αντιστοιχεί σε θερμοκρασία 5°C.

Στη συνέχεια, ενώνουμε με μία καμπύλη τα σημεία αυτά.

β) Για να βρούμε τη θερμοκρασία του νερού σε βάθος 500 μέτρων, από το σημείο με τετμημένη 500 του άξονα x'x φέρνουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y'y, που τέμνει την γραφική παράσταση στο σημείο Ρ. Στη συνέχεια, από το Ρ φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα x'x, που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη (περίπου) 8.

Άρα, η θερμοκρασία σε βάθος x = 500 m είναι (περίπου) T = 8°C.

γ) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι 15°C, φέρνουμε από το σημείο με τεταγμένη 15 του άξονα y'y παράλληλη προς τον άξονα x'x που τέμνει τη γραφική παράσταση στο σημείο Σ. Στη συνέχεια, από το Σ φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα y'y, που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο με τετμημένη (περίπου) 130 m.

Άρα, η θερμοκρασία είναι 15°C σε βάθος (περίπου) x = 130 m.

Μικροπείραμα

5
Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Λύση:

Σχηματίζουμε, καταρχάς, έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης.

Στη συνέχεια, τοποθετούμε σ' ένα σύστημα αξόνων

τα σημεία με συντεταγμένες (x, y) του παραπάνω πίνακα.

Έτσι, βρίσκουμε τα σημεία Α(-3, 9), Β(-2, 4), Γ(-1, 1), Ο(0, 0),

Δ(1, 1), Ε(2, 4) και Ζ(3, 9).

Στη συνέχεια, ενώνουμε με τη σειρά τα σημεία αυτά.

Η καμπύλη που προκύπτει είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Να αντιστοιχίσετε σε κάθε σημείο τις συντεταγμένες του:

Σημείο	Συντεταγμένες
Α	(2, 3) (3, 2)
Β	(-2, 3) (-3, 2)
Γ	(-2, -3) (-3, -2)
Δ	(2, -3) (3, -2)

Να συμπληρώσετε τον πίνακα, όπως φαίνεται στο παράδειγμα της 1ης γραμμής.

Σημείο Α	Συμμετρικό του Α ως προς τον x'x	Συμμετρικό του Α ως προς τον y'y	Συμμετρικό του Α ως προς το O
(-2, 3)	(-2, -3)	(2, 3)	(2, -3)
(3, 5)
(-3, 5)
(-3, -5)
(3, -5)

Στο διπλανό σχήμα είναι:

α) ΑΒ < ΑΓ,

β) ΑΒ > ΑΓ,

γ) ΑΒ = ΑΓ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Στο διπλανό σχήμα είναι:

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

α) για x=1, είναι y =........ Α: -1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5

β) για x=3, είναι y =........ Α: -1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5

γ) για y=6, είναι x =........ Α: -1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5

δ) για y=2, είναι x =....... Α: -1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

1.	Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι. Μικροπείραμα
2.	Σ' ένα τετραγωνισμένο χαρτί να σχεδιάσετε ένα σύστημα αξόνων και να σημειώσετε τα σημεία :
3.	Δίνονται τα σημεία : Σε τετραγωνισμένο χαρτί να βρείτε τις συντεταγμένες των συμμετρικών τους σημείων ως προς τον άξονα x'x, τον άξονα y'y και την αρχή Ο των αξόνων.
4.	α) Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ. β) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) To μήκος ΒΓ ισούται με: Α: 1 + 3 = 4 Β: 2 - 2 = 0 Γ: 3 - 1 = 2 Δ: -1 - 3 = -4 ii) Το μήκος ΑΓ ισούται με: Α: 3 - 3 = 0 Β: 1 + 2 = 3 Γ: 1 - 2 = -1 Δ: 2 - 1 = 1 γ) Αφού παρατηρήσετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ, να επαληθεύσετε με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος ότι η απόσταση ΑΒ είναι ίση με 5.
5.	Να βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων από τους άξονες x'x και y'y. α) Α(3, 5) β) B(-3, 2) γ) Γ(0, -4)

6 .	Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων: α) Α(3, 5) και Β(5, 1) β) Α(-2, 1) και Β(2, -3) γ) Α(3,-5) και Β(-2,-5) δ) Α(-5,-7) και Β(-5,2)
7.	Ένα πλοίο Π κινείται με ταχύτητα 8 μίλια την ώρα και κατευθύνεται προς το λιμάνι Λ. Η θέση του πλοίου ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Λ και μονάδα μέτρησης το 1 μίλι, είναι (-8, 15). Σε πόση ώρα θα φτάσει στο λιμάνι;
8.	Η πίεση P (σε cm Hg) του αέρα ως συνάρτηση του ύψους h από το έδαφος φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. α) Να κατασκευάσετε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. β) Ποια είναι η πίεση σε ύψος 1,5 km από το έδαφος; γ) Σε ποιο ύψος η πίεση είναι περίπου ίση με 70 cm Hg;
9.	H θερμοκρασία Τ του αέρα ως συνάρτηση του ύψους h φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. α) Να κατασκευάσετε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. β) Πόση περίπου είναι η θερμοκρασία του αέρα σε ύψος 500 μέτρων; γ) Σε ποιο ύψος η θερμοκρασία του αέρα είναι περίπου 12°C; Μικροπείραμα
10.	Όταν ένα σώμα (π.χ. μια μπάλα) πέφτει από ένα ψηλό σημείο (π.χ. από τον τελευταίο όροφο ενός ουρανοξύστη ύψους 100 m) δεν κινείται ομαλά (με σταθερή ταχύτητα), αλλά εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η απόσταση x που διανύει το σώμα ως συνάρτηση του χρόνου t. Να κατασκευάσετε σε ορθογώνιο σύστημα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.