1.2.	Εξισώσεις α΄ βαθμού

Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων

Μια σχέση ισότητας ή ανισότητας είναι στην ουσία μια ζυγαριά, η οποία είτε ισορροπεί, είτε γέρνει από τη μία πλευρά, είτε γέρνει από την άλλη.

Αν α και β παριστάνουν τα βάρη των αντικειμένων του σχήματος, τότε θα ισχύει μία μόνο από τις σχέσεις:

α = β, α < β, α > β

Για να χειριστούμε σωστά μια ισότητα, είναι χρήσιμο να έχουμε υπόψη μας μερικούς βασικούς κανόνες.

Ο Γιώργος έχει μια ζυγαριά που ισορροπεί, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πρόκειται δηλαδή για έναν κύβο που έχει βάρος ίσο με το βάρος δύο κώνων. Προσθέτει στο δίσκο της ζυγαριάς όπου βρίσκεται ο κύβος, μια μπάλα, οπότε η ζυγαριά γέρνει προς αυτή την πλευρά. Πόσες μπάλες πρέπει να τοποθετήσει στο δίσκο της ζυγαριάς όπου βρίσκονται οι δύο κώνοι, για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά;

Λύση

Για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπει βέβαια να τοποθετήσει και στην άλλη πλευρά το ίδιο βάρος, δηλαδή μία μπάλα. Δηλαδή: ένας κύβος και μία μπάλα ισορροπούν με 2 κώνους και μία μπάλα.

Το συμπέρασμα αυτό μπορούμε να το διατυπώσουμε ως γενικότερο κανόνα για τις ισότητες.

Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Δηλαδή:

Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση.

Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Δηλαδή:

2
O Γώργος ξέρει ότι ένας κύβος ισορροπεί με δύο κώνους. Αν βάλει 4 κύβους στη μία πλευρά, πόσους κώνους πρέπει να βάλει στην άλλη πλευρά, ώστε να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά;

Λύση

Αφού τετραπλασίασε το βάρος στη μία πλευρά, για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπει να τοποθετήσει τετραπλάσιο βάρος και στην άλλη πλευρά, δηλαδή πρέπει να τοποθετήσει 8 κώνους.

Γενικά:

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Δηλαδή:

Ομοίως:

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Δηλαδή:

Η έννοια της εξίσωσης

3
Η διπλανή ζυγαριά ισορροπεί! Μπορείτε να βρείτε πόσο ζυγίζει ένας κύβος; Τα βαρίδια ζυγίζουν 100 γραμμάρια το καθένα.

Λύση

Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα, θα πρέπει να προσπαθήσουμε να απομονώσουμε στον ένα δίσκο της ζυγαριάς έναν κύβο, φροντίζοντας όμως η ζυγαριά να ισορροπεί.

1ο βήμα:

Καταρχάς, παρατηρούμε ότι στον ένα δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν δύο βαρίδια των 100 γραμμαρίων το καθένα, και στον άλλο δίσκο υπάρχουν έξι. Επομένως, μπορούμε να αφαιρέσουμε δύο βαρίδια από κάθε δίσκο χωρίς να "χαλάσουμε" την ισορροπία της ζυγαριάς.

2ο βήμα:

Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι μπορούμε με τον ίδιο τρόπο ν' αφαιρέσουμε έναν κύβο από κάθε δίσκο χωρίς πάλι να διαταραχθεί η ισορροπία της ζυγαριάς.

3ο βήμα:

Τώρα έχουν μείνει δύο κύβοι στον ένα δίσκο και τέσσερα βαρίδια στον άλλο. Για να βρούμε πόσο βάρος έχει ο ένας κύβος, μπορούμε να σηκώσουμε έναν κύβο από τον ένα δίσκο (δηλαδή το μισό βάρος ενός δίσκου) και δύο βαρίδια από τον άλλο δίσκο (δηλαδή το μισό βάρος του άλλου δίσκου). Διαιρέσαμε, λοιπόν, τα βάρη και των δύο δίσκων δια 2, οπότε η ζυγαριά συνεχίζει να ισορροπεί.

Άρα, ένας κύβος ζυγίζει 200 γραμμάρια.

Ας δούμε τώρα μια «μαθηματική» λύση του παραπάνω προβλήματος:

Ας πούμε ότι κάθε κύβος ζυγίζει x κιλά.

Τότε, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς βρίσκονταν στην αρχή 3x + 200 γραμμάρια

και στο δεξιό δίσκο x + 600 γραμμάρια.

Αφού η ζυγαριά ισορροπεί, θα είναι: 3x + 200 = x + 600.

Η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x, ονομάζεται εξίσωση.

Η παράσταση 3x + 200 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση x + 600 λέγεται δεύτερο μέλος αυτής.

Για να βρούμε τώρα τον άγνωστο αριθμό x, λύνουμε την εξίσωση.

Άρα, ο κάθε κύβος ζυγίζει 200 γραμμάρια.

Επαλήθευση:

Πράγματι, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν 3 • 200 + 200 = 600 + 200 = 800 γραμμάρια και στο δεύτερο δίσκο υπάρχουν 200 + 600 = 800 γραμμάρια. Δηλαδή, η ζυγαριά ισορροπεί.

Στην παραπάνω λύση της εξίσωσης 3x + 200 = x + 600 «απομονώσαμε» το x στο πρώτο μέλος της εξίσωσης, προσθέτοντας ή αφαιρώντας και στα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η διαδικασία αυτή μπορεί να γίνει πιο γρήγορα με τη βοήθεια του εξής πρακτικού κανόνα:

Σε μία εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους.

Μικροπείραμα

1
Να λυθεί η εξίσωση: 2(x – 1) + 3(2 – x)= 4(x + 2).

Λύση:

Έχουμε διαδοχικά:

2

Λύση:

Σε αυτή την εξίσωση έχουμε και παρονομαστές. Μπορούμε, όμως, να πάρουμε μια εξίσωση χωρίς παρονομαστές,

αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2 και 3.

Συνήθως χρησιμοποιούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο εδώ είναι το 6.

Η διαδικασία αυτή λέγεται απαλοιφή παρονομαστών.

3
Να λυθεί η εξίσωση: 2(3 - x) + 4(x - 1) = 2x + 5

Λύση:

Έχουμε διαδοχικά: 6 - 2x + 4x - 4 = 2x + 5

-2x + 4x - 2x= 5 - 6 + 4

0x= 3

Στην περίπτωση αυτή, δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου, γιατί, όπως γνωρίζουμε, δε γίνεται διαίρεση με το 0. Παρατηρούμε, όμως, ότι για κάθε τιμή του x, το πρώτο μέλος της εξίσωσης ισούται πάντα με 0, οπότε δε μπορεί να είναι ίσο με 3. Επομένως, η εξίσωση αυτή δεν έχει καμία λύση. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται αδύνατη.

Μικροπείραμα

4

Λύση:

Έχουμε διαδοχικά:

Στην περίπτωση αυτή επίσης, δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου, γιατί όπως γνωρίζουμε, δε γίνεται διαίρεση με το 0.
Παρατηρούμε όμως, ότι η εξίσωση 0x = 0 επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x. Για παράδειγμα: 0 • 2 = 0, 0 • 3 = 0, 0 • (-7) = 0 κ.τ.λ. Δηλαδή, κάθε αριθμός είναι λύση της εξίσωσης. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται ταυτότητα.

Μικροπείραμα

Στις παρακάτω ισότητες να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει:

Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).

α) H εξίσωση 2x = 6 έχει λύση τον αριθμό 3.

β) H εξίσωση 5x + x = x είναι ταυτότητα.

γ) Οι εξισώσεις x + 1 = 5 και -x + 5 = 1 έχουν λύση τον ίδιο αριθμό.

δ) Η εξίσωση 3x = 0 είναι ταυτότητα.

ε) Η εξίσωση 0 • x = 0 είναι αδύνατη

ΣΩΣΤΟ	ΛΑΘΟΣ

Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α με τη λύση της στη στήλη Β.

1.	Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης: α) -2x + 3 = 21 x = -7 β) 3x + 5 = 7,5 x = 0,5 γ) -3x + 4 = 7x - 6 x = 1
2.	Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2x + 21 = 4 + x - 5 β) -9 + 7y + y = 1 - 2y γ) 3t - 3(t + 1) = t + 2(t + 1) + 1
3.	Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4(2x + 1) - 6(x - 1) = 3(x + 2) β) 3(y + 1) + 2(y - 4) = 2y - (y - 6) γ) 6(ω + 2) + 3 = 3 - 2(ω - 4)
4.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
5.	Να λύσετε τις εξισώσεις:

Να λύσετε τις εξισώσεις:

Για ποια τιμή του x είναι Α = Β;

α) αν Α = 5x - 3, B = 12 - 2x

β)αν

Δίνεται η εξίσωση:

μ(χ + 6) - 2 = (2μ - 1)x + 2

α) Αν μ = 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση

x = 8.

β) Αν η εξίσωση έχει λύση x = 7, να αποδείξετε ότι

μ = 3.

γ) Αν μ = 1, να λύσετε την εξίσωση.

Μικροπείραμα

10.

Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο.

α) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποιο είναι σ' αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς;

β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Ποιο είναι σ' αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς;

γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΓ.

Μικροπείραμα

11.

Δίνεται το ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς x, y και ω (το ω παριστάνει μοίρες).

Μικροπείραμα

Οι εξισώσεις και οι συμβολισμοί τους μέσα στους αιώνες.

Κατά την αρχαιότητα η έλλειψη κατάλληλου συμβολισμού είχε εμποδίσει τις λύσεις προβλημάτων με αποτέλεσμα αυτές να θεωρούνται πολύπλοκες και δύσκολες.

• Στον περίφημο αιγυπτιακό πάπυρο του Ρηντ (περίπου 1700 π.Χ. - Βρετανικό Μουσείο) περιγράφονται προβλήματα με ιερογλυφικά (διαβάζονται από δεξιά προς τα αριστερά).

• Στην Αναγέννηση (15ος - 16ος αιώνας) οι συμβολισμοί απλοποιήθηκαν κατά κάποιον τρόπο:

- Ο Γάλλος Nicolas Chuquet (1445 - 1500) έγραφε: «12⁰ p 5¹ ισούται με 20⁰», δηλαδή

ή πιο απλά 12 + 5x = 20.

- Επίσης, ο Γάλλος Frangois Viete (1540 - 1603) έγραφε: «12αq 5a aeq. 23».

- O Ιταλός Niccolo Fontana ή Tartaglia (1499 - 1557) έγραφε επίσης: «12 Ν p 5 R ισούται 20 Ν».

• Ο Γάλλος Rene Descartes (ή Καρτέσιος 1596 -1650) στις αρχές του 17ου αιώνα έγραφε «12 + 5z Β20». Την εποχή αυτή τα μαθηματικά καθώς και άλλα προβλήματα διατυπώνονται σχεδόν αποκλειστικά με μαθηματικά σύμβολα, γεγονός που συνετέλεσε στην αλματώδη πρόοδο της επιστήμης.