71. Όγκος κυλίνδρου

Κατανοώ τη διαδικασία υπολογισμού του όγκου του κυλίνδρου.

Yπολογίζω τον όγκο του κυλίνδρου με τύπο.

Λύνω προβλήματα με όγκους κυλίνδρων.

Δραστηριότητα 1η

Εικόνα

Μία αρχαιολόγος, στην έρευνά της σε αρχαία τείχη, ανακάλυψε ένα κυλινδρικό πυργίσκο που ήταν γεμάτος χώμα. Μέρος της εργασίας των αρχαιολόγων είναι να απομακρύνουν το χώμα και τα άχρηστα υλικά που συσσωρεύονται σε στρώματα στα ερείπια.

Πιστεύεις ότι η αρχαιολόγος μπορούσε να εκτιμήσει τον όγκο του χώματος

προτού τον απομακρύνουν;............................................................................................

.................................................................................................................................
Σε τι μοιάζουν ένα κυλινδρικό στερεό σώμα και ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο;...................

............................................................................................
Σε τι διαφέρουν;.....................................................................

............................................................................................

Δραστηριότητα 2η

Εικόνα

Στη διπλανή εικόνα φαίνονται τρία δοχεία. Έχουμε βάλει το ένα μέσα στο άλλο και τα κοιτάζουμε από ψηλά. Το ύψος τους είναι το ίδιο.

Ποιο από τα δύο παραλληλεπίπεδα δοχεία πιστεύεις ότι έχει μεγαλύτερο όγκο και γιατί;....................................................................................................

...........................................................................................................
Κάνε τώρα μια εκτίμηση και για τον όγκο του κυλινδρικού δοχείου σε σχέση με των δύο παραλληλεπίπεδων δοχείων (πρώτα με το μεγάλο και μετά με το μικρό) και εξήγησε τη σκέψη σου:

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................
Πώς θα υπολόγιζες τον όγκο των παραλληλεπίπεδων αυτών σωμάτων;......................................

.............................................................................................................
Σκέψου πώς μπορείς να εφαρμόσεις την ίδια μέθοδο για να υπολογίσεις τον όγκο του κυλίνδρου:

.............................................................................................................

.............................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

Από τις παραπάνω δραστηριότητες διαπιστώνουμε ότι, μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο ενός κυλινδρικού σώματος, όπως και των παραλληλεπίπεδων σωμάτων. Βρίσκουμε πρώτα το εμβαδό της βάσης και μετά το πολλαπλασιάζουμε επί το ύψος του.

Όγκος κυλίνδρου

Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του (δηλαδή του αριθμού π επί το τετράγωνο της ακτίνας:
Ε_{(κυκλικού δίσκου)} = π · α²) επί το ύψος του.
Αυτό εκφράζεται με τον τύπο Ο_{(κυλίνδρου)} = π · α² · υ.

Παραδείγματα

Εικόνα

Εφαρμογή 1η Aπό το παραλληλεπίπεδο στον κύλινδρο

Ο Λευτέρης βγάζει το πρωί το γάλα από το ψυγείο και το αδειάζει στο ποτήρι του, όπως φαίνεται στην εικόνα.
Καταλαβαίνει ότι το γάλα τελειώνει και το αδειάζει όλο. Διαπιστώνει με έκπληξη ότι το γάλα γεμίζει το ποτήρι ακριβώς μέχρι το χείλος. Αναρωτιέται «άραγε το κουτί με το γάλα ήταν γεμάτο;».

Εικόνα

Λύση - Απάντηση:
Για να κάνουμε τη σύγκριση πρέπει να βρούμε αν τα δύο σώματα (κουτί με γάλα και ποτήρι) έχουν την ίδια χωρητικότητα. Επειδή και τα δύο έχουν πολύ λεπτό τοίχωμα, θα θεωρήσουμε ότι η χωρητικότητά τους είναι ίση με τον όγκο τους.

Ο όγκος του κουτιού είναι: Ο_{(παραλληλεπιπέδου)} = α · β · γ

10 · 7 · 7 =...................................................................................................................

Ο όγκος του ποτηριού είναι: Ο_{(κυλίνδρου)} = π · α² · υ (α = δ/2) 3,14 · 32 · 12 = .........................

Απάντηση:.....................................................................................................................

Εικόνα

Εφαρμογή 2η

Στο κλιμακοστάσιο ενός κτιρίου με 18 μέτρα ύψος, το ασανσέρ έχει κυλινδρικό σχήμα και γύρω του υπάρχουν σκάλες, όπως φαίνεται στο σχήμα. Πόσος είναι ο όγκος που καταλαμβάνει το φρεάτιο του ασανσέρ και πόσος ο υπόλοιπος όγκος του κλιμακοστασίου;
Λύση:
Βρίσκουμε πρώτα τον όγκο του φρεατίου. Ο_{(κυλίνδρου)} = π · α² · υ (α = δ/2)

Μετά υπολογίζουμε τον όγκο όλου του κλιμακοστασίου (που συμπεριλαμβάνει τις σκάλες και το

φρεάτιο του ασανσέρ): Ο_{(παραλληλεπιπέδου)} = α · β · γ.................................................................

Τέλος αφαιρούμε τον όγκο του φρεατίου:.............................................................................

Απάντηση: Το ασανσέρ καταλαμβάνει ............. κ.μ. και οι σκάλες ............ κ.μ. του κτιρίου.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους χωρητικότητα, λίτρο, όγκος και κυβικό μέτρο με τις υποδιαιρέσεις του. Να εκφράσεις μια μέτρηση όγκου με διαφορετικούς τρόπους.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις:	Σωστό	Λάθος
Για να βρούμε τον Όγκο_{(κυλίνδρου)} πολλαπλασιάζουμε την περίμετρο της βάσης επί το ύψος.
Για να βρούμε τον Όγκο_{(κυλίνδρου)} αρκεί να γνωρίζουμε την ακτίνα και το ύψος του.