70. Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

Κατανοώ τη διαδικασία υπολογισμού του όγκου κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

Yπολογίζω τον όγκο κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τύπο.

Λύνω προβλήματα με όγκους κύβων και ορθογώνιων παραλληλεπιπέδων.

Δραστηριότητα 1η

Γνωρίζεις ότι ως μονάδα μέτρησης του όγκου χρησιμοποιείται ένας κύβος που η ακμή του είναι ένα μέτρο και ονομάζεται κυβικό μέτρο. Για μικρότερες μετρήσεις χρησιμοποιείται το κυβικό δεκατόμετρο ή το κυβικό εκατοστόμετρο.

Εικόνα

Ποιο εργαλείο από τα προηγούμενα θα χρησιμοποιήσεις για να μετρήσεις τον όγκο του κουτιού που φαίνεται δίπλα και με τι τρόπο θα το κάνεις; .................
Ποιος είναι ο όγκος του;..........................................................................
Είναι πάντοτε εύκολο να βρίσκουμε τον όγκο των σωμάτων χρησιμοποιώντας ένα εργαλείο μέτρησης όπως είναι αυτό που χρησιμοποίησες;.................................................
Γιατί;............................................................................................................................

Δραστηριότητα 2η

Εικόνα

Η κατασκευή που φαίνεται στην εικόνα είναι φτιαγμένη από κύβους με ακμή ίση με 1 εκ. Kαθένας είναι ένα κυβικό εκατοστό.

Ποιος είναι ο όγκος της κατασκευής;...........................................................
Εξήγησε τη σκέψη σου:............................................................................

...........................................................................................................

Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα με στοιχεία για κατασκευές που φτιάχνονται με κυβικά εκατοστά όπως η προηγούμενη.

Μήκος	Πλάτος	Εμβαδό βάσης	Αριθμός στρώσεων	Ύψος	Όγκος
3 εκ.	3 εκ.		3	3 εκ.
			4
			5

Μελέτησε τώρα τις διπλανές κατασκευές και συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα.

Εικόνα

Μήκος	Πλάτος	Εμβαδό βάσης	Αριθμός στρώσεων	Ύψος	Όγκος
.... εκ.	.... εκ.			.... εκ.
.... εκ.	.... εκ.			.... εκ.

Πώς μπορούμε να βρούμε τον όγκο ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, χωρίς να το «χωρίσουμε» σε κυβικά εκατοστά;......................................................................................

....................................................................................................................................

Από τις παραπάνω δραστηριότητες διαπιστώνουμε ότι, για να μετρήσουμε τον όγκο ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, τις περισσότερες φορές είναι δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να χρησιμοποιήσουμε ένα εργαλείο μέτρησης.
Μπορούμε όμως εύκολα να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού αυτού πολλαπλασιάζοντας το μήκος επί το πλάτος του, ώστε να βρούμε το εμβαδό της βάσης και μετά να πολλαπλασιάσουμε αυτό επί το ύψος του.

Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και κύβου

Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με το γινόμενο του μήκους επί το πλάτος επί το ύψος του.

Αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο Ο_{(παραλληλεπιπέδου)} = α · β · γ.

Παραδείγματα

Εικόνα

Ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο των ακμών που εκφράζουν το μήκος, το πλάτος και το ύψος του. Επειδή οι ακμές του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους, αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο Ο_(κύβου) = α · α · α ή Ο_(κύβου) = α³.

Εφαρμογή Φανταστείτε πόσο μεγάλη πρέπει να είναι η πισίνα για μια φάλαινα!

Η φάλαινα που πρωταγωνίστησε στην ταινία «Ελευθερώστε το Willy», όσο ήταν μικρή ζούσε σε μια πισίνα στο Μεξικό. Οι διαστάσεις της πισίνας ήταν 28 μέτρα μήκος, 13 μέτρα πλάτος και 6 μέτρα ύψος (ή βάθος καλύτερα).

Εικόνα

Μεγάλωσε όμως τόσο που δεν χωρούσε πια στην πισίνα αυτή. Έτσι οι υπεύθυνοι αναγκάστηκαν να τη στείλουν σε μια άλλη πόλη, το Όρεγκον, όπου κατασκευάστηκε μία πισίνα με διαστάσεις 46 μ. μήκος, 23 μ. πλάτος και 8 μ. ύψος.
Εκεί χωράει να κινείται με άνεση και μπορεί κανείς να τη δει να παίζει, αφού η καινούρια πισίνα έχει γυάλινα τμήματα στα πλαϊνά της.Πόσο μεγαλύτερη είναι η νέα πισίνα της φάλαινας

Λύση:

Εικόνα

Το μέγεθος μιας πισίνας κρίνεται όχι μόνο από τις δύο διαστάσεις της που φαίνονται, αλλά και από το βάθος της, που είναι εξίσου σημαντικό. Χρειάζεται λοιπόν να βρούμε τον όγκο κάθε πισίνας για να τις συγκρίνουμε.

Ο όγκος της πρώτης πισίνας ήταν: Ο_{(παραλληλεπιπέδου)} = α · β · γ.

........... · ........... · ........... = ...........................................

Ο όγκος της νέας πισίνας είναι: Ο_{(παραλληλεπιπέδου)} = α · β · γ.

........... · ........... · ........... = ...........................................

Τώρα πρέπει να βρούμε τη διαφορά τους: ...........................................................................

Απάντηση: Η νέα πισίνα είναι .............. κ.μ. μεγαλύτερη.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους όγκος παραλληλεπιπέδου και όγκος κύβου. Να υπολογίσεις τον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου που υπάρχει κοντά σου.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις:	Σωστό	Λάθος
Για να βρούμε τον Όγκο_(κύβου) αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος της ακμής του.
Για να βρούμε τον Όγκο_{(παραλληλεπιπέδου)} πρέπει να γνωρίζουμε και τις 3 διαστάσεις του.
Για να κατασκευάσω ένα μοντέλο κυβικού μέτρου χρειάζομαι 3 ξύλα του 1 μέτρου.