Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού - Βιβλίο Μαθητή (Eμπλουτισμένο)
Εικόνα

Διαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς.

Μελετώ τη διαίρεση ενός αριθμού με το 1 ή με τον εαυτό του.

Διαπιστώνω ότι η τέλεια διαίρεση είναι αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού..

Διαιρώ με το 10, το 100, το 1000 … και με το 0,1, το 0,01, το 0,001 …
Δραστηριότητα 1η  

Στο Δημοτικό Σχολείο Μετσόβου έφτασαν δύο δέματα με το Β΄ τεύχος του βιβλίου Μαθηματικών, της Στ΄ τάξης. Το ένα δέμα έχει 40 βιβλία και το άλλο 80. Η δασκάλα φώναξε 4 παιδιά για να τα μεταφέρουν.

Εικόνα

  • Πώς θα βρουν από πόσα βιβλία θα κουβαλήσει κάθε παιδί;

    ........................................................................................

  • Με πόσους τρόπους μπορείς να υπολογίσεις το αποτέλεσμα;

    ....................................................................................

    ....................................................................................

  • Αν τα κουβαλούσαν 10 παιδιά;

    ........................................................................................

    ........................................................................................

  • Αν διπλασιαστεί ο αριθμός των βιβλίων (120 · 2) και διπλασιαστεί και ο αριθμός των παιδιών
    (4 · 2) από πόσα βιβλία θα κουβαλήσει κάθε παιδί;...............................................Τι παρατηρείς;......................................................

Δραστηριότητα 2η  

Στους παρακάτω πολλαπλασιασμούς συμπλήρωσε τους παράγοντες που λείπουν:

4 · ....... = 36

....... · 8 = 48

3 · ....... = 63

10 · ....... = 120

....... · 1000 = 4000

  • Με ποια διαδικασία τούς βρήκες;....................................................................................

    ................................................................................................................................

  • Ποια σχέση διακρίνεις ανάμεσα στη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό;

 Εικόνα

  • Ποιες διαιρέσεις προκύπτουν από την ισότητα 6 · 8 = 48;

    α) ...................................................................................

    β) ...................................................................................

  • Μπορείς με βάση τα προηγούμενα να εξηγήσεις το αποτέλεσμα
    της διαίρεσης 0 : 4 = 0;............................................................................................

    .............................................................................................................................

  • Μπορούμε να διαιρέσουμε έναν αριθμό με το μηδέν;

    .............................................................................................................................

Οι προηγούμενες δραστηριότητες μας βοηθούν να συμπεράνουμε τα ακόλουθα:

Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών

Τέλεια λέγεται η διαίρεση στην οποία το υπόλοιπο είναι 0. Όταν το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το 0, η διαίρεση λέγεται ατελής

Παραδείγματα

Εικόνα

Η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλα­σιασμού.

Σε κάθε διαίρεση ο διαιρετέος είναι ίσος με το γινόμενο του διαιρέτη επί το πηλίκο συν το υπόλοιπο.

Εικόνα

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε προσθετέο και να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση).

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και ως προς την αφαίρεση.
12 : 1 = 12                   3,5 : 1 = 3,5
12 : 12 = 1                   3,5 : 3,5 = 1

Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με το 1, δίνει πηλίκο τον εαυτό του.

Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με τον εαυτό του, δίνει πηλίκο το 1.
0 : 12 = 0                   0 : 3,5 = 0

Το 0, με όποιον αριθμό και αν διαιρεθεί, δίνει πηλίκο 0.

Σε κάθε διαίρεση, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει.
12 : 3 = 4
(12 · 2) : (3 · 2) = 24 : 6 = 4
 

Εφαρμογή 1η

Διαιρούμε έναν αριθμό (φυσικό ή δεκαδικό) με 10, το 100, το 1000 ...,

Λύση

Όταν διαιρώ έναν αριθμό με το 10, το 100, το 1000, ..., τότε ο αριθμός μικραίνει κατά 10 ή 100 ή 1000 ... φορές αντίστοιχα. Αρκεί λοιπόν να μετακινήσω την υποδιαστολή 1 ή 2 ή 3 ... θέσεις προς τα αριστερά:

8 : 10 = 0,8

8 : 100 = 0,08

8 : 1.000 = 0,008

0,8 : 10 = ......,......
 

Εφαρμογή 2η

Εικόνα

Διαιρούμε έναν αριθμό (φυσικό ή δεκαδικό) με το 0,1 ή το 0,01 ή το 0,001 ...,

Λύση

Γνωρίζω ότι το πηλίκο δεν αλλάζει, αν πολλαπλασιάσω το διαιρετέο και τον διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό. Για να γίνει εύκολα η διαίρεση μπορώ να μετατρέψω το διαιρέτη στον αριθμό 1 πολλαπλασιάζοντας τον με το 10, το 100, το 1000, ...,

93,5 : 0,1 = (93,5 . 10) : (0,1 . 10) = 935 : 1 = 935

458 : 0,01 = (458 . 100) : (0,01 . 100) = 45800 : 1 = 45.800

Παρατηρώ ότι για να διαιρέσω έναν αριθμό με το 0,1 ή το 0,01 ή το 0,001 ... αρκεί να μετακινήσω την υποδιαστολή 1 ή 2 ή 3 ... θέσεις προς τα δεξιά, σαν να τον πολλαπλασιάζω με το 10, το 100, το 1000, ..., αντίστοιχα.

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους τέλεια και ατελής διαίρεση, διαίρεση αριθμού με το 1 ή με τον εαυτό του. Εξήγησε τους όρους αυτούς με δικά σου παραδείγματα.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος
  • H ισότητα: 10 : 2 = 2 : 10 είναι σωστή.
 Εικόνα Εικόνα
  • Από τη διαίρεση Δ : δ = π μπορώ να πω ότι ισχύει Δ = δ . π.
 Εικόνα Εικόνα
  • Η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις αντίστροφες.
 Εικόνα Εικόνα