>

φωτογραφία φόντου

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ

Περιγραφη

Τα περιεχόμενα του βιβλίου είναι: ­
  • Εισαγωγή:
    Εισάγονται οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες : σημείο, ευθεία, επίπεδο και τα βασικά γεωμετρικά σχήματα: ευθύγραμμο τμήμα, γωνία, τρίγωνο, κύκλος. Εισαγωγή
    στην έννοια της απόδειξης.
  • Τρίγωνα:
    Η ισότητα εισάγεται μέσω της εναπόθεσης. Η ισότητα τριγώνων αναπτύσσεται μέσω κριτηρίων, επιλέγοντας ως αξίωμα το Π-Γ-Π. Αποδεικνύεται η τριγωνική ανισότητα και αναπτύσσονται στοιχειώδεις γεωμετρικοί τόποι.
  • Σχετικές θέσεις ευθειών στο επίπεδο:
    Μελετώνται η ύπαρξη κάθετης και παρ­άλληλης προς ευθεία και η μοναδικότητα της παράλληλης. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι.
  • Τετράπλευρα:
    Παραλληλόγραμμα και τραπέζια. Εφαρμογή στα αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου. Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα.
  • Γεωμετρικές Κατασκευές:
    Χρήση των γεωμετρικών τόπων στις κατασκευές με την απαίτηση οι κατασκευές να γίνονται μόνον με τη χρήση του αβαθμολόγητου κανόνα και του διαβήτη.
  • Αναλογίες - Ομοιότητα:
    Χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των αναλογιών στην παραγωγή νέας γνώσης. Η έκθεση της ύλης είναι κλασική (Θεώρημα Θαλή, Διχοτόμων, κύκλος Απολλώνιου) και οδηγεί στα κριτήρια ομοιότητας των τριγώνων.
  • ­

Αναλυτικο Προγραμμα

Για το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα του μαθήματος, μεταβείτε στο 'Διδακτικό Πακέτο - βιβλία pdf' και συγκεκριμένα στην ενότητα 'ΔΕΠΠΣ-ΑΠΣ'.

Στοχοι

­Με κατάλληλες δραστηριότητες οι μαθητές αναμένεται να καταστούν ικανοί να:
  • Αναγνωρίζουν τη μέθοδο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που συνίσταται στην ανάπτυξη συλλογισμών βασισμένων σε αξιώματα, δηλαδή σε αρχικούς όρους που δεχόμαστε ως αληθείς χωρίς περαιτέρω επεξηγήσεις.
  • Να αποδεικνύουν απλές προτάσεις που αναφέρονται στα απλά γεωμετρικά σχήματα.
  • Αντιλαμβάνονται πως, όταν τεθεί ως επιπλέον απαίτηση το 5ο Αίτημα, μπορεί να κατοχυρωθεί αποδεικτικά ολόκληρη η εμπειρική γεωμετρική γνώση του Γυμνασίου.
  • Αποδεικνύουν τις βασικές ιδιότητες των παραλληλογράμμων και των εγγραψίμων τετραπλεύρων.
  • Επιλύουν και διερευνούν ένα γεωμετρικό πρόβλημα και να διαπραγματεύονται την αναλυτικό-συνθετική μέθοδο επίλυσης προβλήματος.
  • Αναγνωρίζουν ότι η ομοιότητα είναι ένα μέσο σύγκρισης σχημάτων που δεν είναι ίσα.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. Εισαγωγή στην Ευκλείδια Γεωμετρία

Το αντικείμενο της Ευκ­λείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών, που μπορούν να υπάρξουν μέσα σε αυτόν. Μέσα στο χώρο βρίσκεται ο φυσικός κόσμος, στον οποίο ζούμε, και όλα τα αντικείμενα, μεγάλα ή μικρά, έμψυχα ή άψυχα.
Στο χώρο διακρίνουμε τις επιφάνειες, τις γραμμές και τα σημεία. Οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις, οι γραμμές μία, τα σημεία καμία. Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορεί να την οριοθετούν. Εδώ χρειάζεται μια διευκρίνιση. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε για «γραμμές» της ασφάλτου ή για σιδηροδρομικές «γραμμές», επειδή το πλάτος στη μία περίπτωση, το πλάτος και το ύψος στην άλλη είναι αμελητέα ως προς το μήκος. Γενικά, όλα τα υλικά αντικείμενα εκτείνονται σε τρεις διαστάσεις. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις, στη Γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά με αφηρημένες έννοιες, που τις αποκαλούμε όρους της Γεωμετρίας.
Η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε ως επιστήμη και επί αιώνες ο μόνος. Το αντικείμενό της, ο χώρος και τα σχήματα, είναι και προσιτό και πλούσιο, πρόσφορο για θεωρητική μελέτη αλλά και για πρακτικές εφαρμογές. Από την εποχή του Αρχιμήδη και του Ήρωνα μέχρι σήμερα, τα πεδία εφαρμογής της Γεωμετρίας συνεχώς διευρύνονται. Για τα σπίτια που ζούμε, τα καράβια που ταξιδεύουμε ή τις επεξεργασμένες εικόνες της τηλεόρασης είναι αναγκαία η χρήση της Γεωμετρίας, άμεση ή έμμεση.
Βασικοί Όροι: γεωμετρία, ευκλείδια γεωμετρία, ιστορική αναδρομή

2. Τα βασικά Γεωμετρικά Σχήματα

Στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι η εμπέδωση κ­αι η συστηματική μελέτη των πρωταρχικών εννοιών: σημείο, ευθεία, επίπεδο καθώς και των βασικών γεωμετρικών σχημάτων: ευθύγραμμο τμήμα, γωνία, κύκλος, επίπεδο ευθύγραμμο σχήμα. Όπως είδαμε, οι πρωταρχικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο δίνονται χωρίς ορισμό και με βάση αυτές ορίζονται τα βασικά γεωμετρικά σχήματα, τα οποία θα μελετήσουμε στη συνέχεια.
Βασικοί Όροι: γεωμετρικά σχήματα, σημεία, γραμμές, επιφάνειες, επίπεδο, ευθεία, ημιευθεία, ευθύγραμμο τμήμα, γωνία, στοιχεία κύκλου, επίκεντρη γωνία, τόξο, τεθλασμένη γραμμή, πολύγωνο

3. Τρίγωνα

Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με το πλέον θ­εμελιώδες σχήμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που είναι το τρίγωνο. Αρχικά δίνουμε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Ως εφαρμογή των κριτηρίων αυτών παρουσιάζουμε ιδιότητες των στοιχείων του κύκλου, των ισοσκελών τριγώνων, της μεσο-καθέτου ευθύγραμμου τμήματος και της διχοτόμου μιας γωνίας. Η μεσο-κάθετος και η διχοτόμος εξετάζονται και ως βασικοί γεωμετρικοί τόποι. Στη συνέχεια αναφέρουμε συνοπτικά την έννοια της συμμετρίας ως προς κέντρο και άξονα και μελετάμε ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο και τις εφαρμογές τους στη σύγκριση κάθετων και πλάγιων τμημάτων. Επίσης, παρουσιάζουμε τις σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου, καθώς και τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων. Το κεφάλαιο κλείνει με κάποιες βασικές γεωμετρικές κατασκευές.
Βασικοί Όροι: τρίγωνα, είδη τριγώνων, στοιχεία τριγώνων, κριτήριο ισότητας, κάθετος, μεσοκάθετος, διχοτόμος, κεντρική συμμετρία, αξονική συημμετρία, εξωτερική γωνία, απέναντι γωνία, εφαπτόμενα τμήματα

4. Παράλληλες Ευθείες

Στο κεφάλαιο αυτό­ θα μελετήσουμε τις παράλληλες ευθείες. Αρχικά, με βάση τις γωνίες που σχηματίζουν δύο παράλληλες και μία τέμνουσα θα κατασκευάσουμε από σημείο εκτός ευθείας μία παράλληλη προς αυτή. Στη συνέχεια, θα δεχθούμε ως αξίωμα το αίτημα παραλληλίας, που είναι ισοδύναμο με το Ευκλείδειο αίτημα και θα μελετήσουμε τις συνέπειες του στα τρίγωνα.
Βασικοί Όροι: παράλληλες ευθείες, τέμνουσα, ευκλείδιο αίτημα, άθροισμα γωνιών

5. Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τα τετράπλευρα που έχουν παράλληλες πλευρές, θα τα ταξινομήσουμε και θα εξετάσουμε τις χαρακτηριστικές ιδιότητες τους. Ως εφαρμογές θα αποδειχθούν κάποιες βασικές προτάσεις για τα τρίγωνα, τα τετράπλευρα και τις παράλληλες ευθείες.­
Βασικοί Όροι: παραλληλόγραμμα, τραπέζια, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο, βαρύκεντρο τριγώνου, ορθόκεντρο τρίγωνο, ισοσκελές τραπέζιο

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αρχικά την έννοια της εγγεγραμμένης γωνίας και τη σχέση της με την αντίστοιχη επίκεντρη καθώς και με τη γωνία χορδής και εφαπτομένης. Έτσι, θα μας δοθεί η δυνατότητα αν­αλυτικής μελέτης βασικών γεωμετρικών τόπων στον κύκλο.
Τέλος, θα μελετήσουμε τα εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα καθώς και συγκεκριμένες γεωμετρικές κατασκευές που γίνονται με τη βοήθεια γεωμετρικών τόπων.
Βασικοί Όροι: εγγεγραμμένα σχήματα, γωνία χορδής, γωνία εφαπτομένης, εγγεγραμμένο τετράπλευρο, εγγράψιμο τετράπλευρο, γεωμετρικοί τόποι, γεωμετρικές κατασκευές

7. Αναλογίες

Στο κεφάλαιο αυ­τό θα μελετήσουμε αρχικά τα ευθύγραμμα τμήματα. Θα εισάγουμε την έννοια του λόγου ευθύγραμμων τμημάτων, απ' όπου θα προκύψει η έννοια της μέτρησης και του μέτρου ευθύγραμμου τμήματος.
Στη συνέχεια θα αποδειχθούν οι βασικές προτάσεις του κεφαλαίου που είναι το θεώρημα του Θαλή και το θεώρημα των Διχοτόμων ενός τριγώνου.
Βασικοί Όροι: ευθύγραμμο τμήμα, διαίρεση, λόγος ευθύγραμμων τμημάτων, ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα, μήκος, θεώρημα του Θαλή, διχοτόμος τριγώνου, απολλώνιος κύκλος

8. Ομοιότητα

Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται ­οι ιδιότητες των όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων και ειδικότερα των όμοιων τριγώνων για τα οποία διατυπώνονται κατάλληλα κριτήρια ομοιότητας. Η ομοιότητα επεκτείνεται στο σύνολο των στοιχείων των ευθύγραμμων σχημάτων ενώ δίνονται πρακτικές εφαρμογές σε πραγματικά προβλήματα και σημειώνεται ότι αποτελεί βασικό συνδετικό κρίκο Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Τέλος, παρουσιάζεται η στενή σχέση της ομοιότητας με την τριγωνομετρία.
Βασικοί Όροι: όμοια ευθύγραμμα τμήματα, κριτήρια ομοιότητας